Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11766 / 13809
↖ ↑ ↗
← N 27.205786°
W 50.734863°		 ← 1 086.49 m → N 27.205786°
W 50.723877°		 →
↑
1 086.57 m
↓
↑
1 086.57 m
↓
N 27.196014°
W 50.734863°		 ← 1 086.58 m →
1 180 603 m²		 N 27.196014°
W 50.723877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359085083007812 y=0.421432495117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359085083007812 × 215)
    floor (0.359085083007812 × 32768)
    floor (11766.5)     		tx = 11766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421432495117188 × 215)
    floor (0.421432495117188 × 32768)
    floor (13809.5)     		ty = 13809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11766 / 13809 ti = "15/11766/13809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11766/13809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11766 ÷ 215
    11766 ÷ 32768     		x = 0.35906982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13809 ÷ 215
    13809 ÷ 32768     		y = 0.421417236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35906982421875 × 2 - 1) × π
    -0.2818603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.88549041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421417236328125 × 2 - 1) × π
    0.15716552734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.493750066086578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88549041} λ = -0.88549041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.493750066086578))-π/2
    2×atan(1.63844900564311)-π/2
    2×1.02281343163245-π/2
    2.0456268632649-1.57079632675     		φ = 0.47483054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88549041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.734863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47483054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.205786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11766 KachelY 13809 -0.88549041 0.47483054 -50.734863 27.205786
    Oben rechts KachelX + 1 11767 KachelY 13809 -0.88529866 0.47483054 -50.723877 27.205786
    Unten links KachelX 11766 KachelY + 1 13810 -0.88549041 0.47465999 -50.734863 27.196014
    Unten rechts KachelX + 1 11767 KachelY + 1 13810 -0.88529866 0.47465999 -50.723877 27.196014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47483054-0.47465999) × R
    0.000170550000000047 × 6371000     		dl = 1086.5740500003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47483054-0.47465999) × R
    0.000170550000000047 × 6371000     		dr = 1086.5740500003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88549041--0.88529866) × cos(0.47483054) × R
    0.000191749999999935 × 0.889370209427284 × 6371000     		do = 1086.48955561672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88549041--0.88529866) × cos(0.47465999) × R
    0.000191749999999935 × 0.889448169861455 × 6371000     		du = 1086.58479514305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47483054)-sin(0.47465999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889370209427284-0.889448169861455)×R²
    abs(-0.88529866--0.88549041)×7.7960434171076e-05×R²
    0.000191749999999935×7.7960434171076e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.7960434171076e-05×40589641000000     		ar = 1180603.10199018m²