Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 11762 / 16945
↖ ↑ ↗
← N 65.254407°
W115.389404°		 ← 255.70 m → N 65.254407°
W115.383911°		 →
↑
255.73 m
↓
↑
255.73 m
↓
N 65.252108°
W115.389404°		 ← 255.72 m →
65 393 m²		 N 65.252108°
W115.383911°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.179481506347656 y=0.258567810058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.179481506347656 × 216)
    floor (0.179481506347656 × 65536)
    floor (11762.5)     		tx = 11762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258567810058594 × 216)
    floor (0.258567810058594 × 65536)
    floor (16945.5)     		ty = 16945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11762 / 16945 ti = "16/11762/16945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11762/16945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11762 ÷ 216
    11762 ÷ 65536     		x = 0.179473876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16945 ÷ 216
    16945 ÷ 65536     		y = 0.258560180664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.179473876953125 × 2 - 1) × π
    -0.64105224609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.01392503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258560180664062 × 2 - 1) × π
    0.482879638671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.5170111253763
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01392503} λ = -2.01392503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5170111253763))-π/2
    2×atan(4.55857978964394)-π/2
    2×1.35485029201986-π/2
    2.70970058403971-1.57079632675     		φ = 1.13890426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01392503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.389404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13890426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.254407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11762 KachelY 16945 -2.01392503 1.13890426 -115.389404 65.254407
    Oben rechts KachelX + 1 11763 KachelY 16945 -2.01382915 1.13890426 -115.383911 65.254407
    Unten links KachelX 11762 KachelY + 1 16946 -2.01392503 1.13886412 -115.389404 65.252108
    Unten rechts KachelX + 1 11763 KachelY + 1 16946 -2.01382915 1.13886412 -115.383911 65.252108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13890426-1.13886412) × R
    4.01399999998553e-05 × 6371000     		dl = 255.731939999078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13890426-1.13886412) × R
    4.01399999998553e-05 × 6371000     		dr = 255.731939999078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01392503--2.01382915) × cos(1.13890426) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.418589879134569 × 6371000     		do = 255.696247182205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01392503--2.01382915) × cos(1.13886412) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.418626332956921 × 6371000     		du = 255.71851505354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13890426)-sin(1.13886412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418589879134569-0.418626332956921)×R²
    abs(-2.01382915--2.01392503)×3.64538223519006e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.64538223519006e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.64538223519006e-05×40589641000000     		ar = 65392.5446542069m²