Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11761 / 13779
↖ ↑ ↗
← N 27.498527°
W 50.789795°		 ← 1 083.62 m → N 27.498527°
W 50.778809°		 →
↑
1 083.64 m
↓
↑
1 083.64 m
↓
N 27.488781°
W 50.789795°		 ← 1 083.72 m →
1 174 312 m²		 N 27.488781°
W 50.778809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.358932495117188 y=0.420516967773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.358932495117188 × 215)
    floor (0.358932495117188 × 32768)
    floor (11761.5)     		tx = 11761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420516967773438 × 215)
    floor (0.420516967773438 × 32768)
    floor (13779.5)     		ty = 13779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11761 / 13779 ti = "15/11761/13779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11761/13779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11761 ÷ 215
    11761 ÷ 32768     		x = 0.358917236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13779 ÷ 215
    13779 ÷ 32768     		y = 0.420501708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.358917236328125 × 2 - 1) × π
    -0.28216552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.88644915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420501708984375 × 2 - 1) × π
    0.15899658203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.499502494040985
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88644915} λ = -0.88644915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.499502494040985))-π/2
    2×atan(1.64790122604866)-π/2
    2×1.02536807877135-π/2
    2.05073615754271-1.57079632675     		φ = 0.47993983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88644915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.789795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47993983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.498527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11761 KachelY 13779 -0.88644915 0.47993983 -50.789795 27.498527
    Oben rechts KachelX + 1 11762 KachelY 13779 -0.88625740 0.47993983 -50.778809 27.498527
    Unten links KachelX 11761 KachelY + 1 13780 -0.88644915 0.47976974 -50.789795 27.488781
    Unten rechts KachelX + 1 11762 KachelY + 1 13780 -0.88625740 0.47976974 -50.778809 27.488781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47993983-0.47976974) × R
    0.000170090000000012 × 6371000     		dl = 1083.64339000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47993983-0.47976974) × R
    0.000170090000000012 × 6371000     		dr = 1083.64339000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88644915--0.88625740) × cos(0.47993983) × R
    0.000191750000000046 × 0.887022706426609 × 6371000     		do = 1083.62175381223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88644915--0.88625740) × cos(0.47976974) × R
    0.000191750000000046 × 0.887101228537217 × 6371000     		du = 1083.71767950454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47993983)-sin(0.47976974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887022706426609-0.887101228537217)×R²
    abs(-0.88625740--0.88644915)×7.85221106082146e-05×R²
    0.000191750000000046×7.85221106082146e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.85221106082146e-05×40589641000000     		ar = 1174311.52823134m²