Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 11760 / 13872
N 26.588527°
W 50.800782°
← 1 092.44 m → N 26.588527°
W 50.789795°

1 092.44 m

1 092.44 m
N 26.578703°
W 50.800782°
← 1 092.54 m →
1 193 475 m²
N 26.578703°
W 50.789795°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.358901977539062 y=0.423355102539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.358901977539062 × 215)
    floor (0.358901977539062 × 32768)
    floor (11760.5)
    tx = 11760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423355102539062 × 215)
    floor (0.423355102539062 × 32768)
    floor (13872.5)
    ty = 13872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11760 / 13872 ti = "15/11760/13872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11760/13872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11760 ÷ 215
    11760 ÷ 32768
    x = 0.35888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13872 ÷ 215
    13872 ÷ 32768
    y = 0.42333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.35888671875 × 2 - 1) × π
    -0.2822265625 × 3.1415926535
    Λ = -0.88664090
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.42333984375 × 2 - 1) × π
    0.1533203125 × 3.1415926535
    Φ = 0.481669967382324
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88664090} λ = -0.88664090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.481669967382324))-π/2
    2×atan(1.6187754484338)-π/2
    2×1.01742683437951-π/2
    2.03485366875902-1.57079632675
    φ = 0.46405734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88664090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.800782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46405734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.588527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11760 KachelY 13872 -0.88664090 0.46405734 -50.800782 26.588527
    Oben rechts KachelX + 1 11761 KachelY 13872 -0.88644915 0.46405734 -50.789795 26.588527
    Unten links KachelX 11760 KachelY + 1 13873 -0.88664090 0.46388587 -50.800782 26.578703
    Unten rechts KachelX + 1 11761 KachelY + 1 13873 -0.88644915 0.46388587 -50.789795 26.578703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.46405734-0.46388587) × R
    0.000171470000000007 × 6371000
    dl = 1092.43537000004m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.46405734-0.46388587) × R
    0.000171470000000007 × 6371000
    dr = 1092.43537000004m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88664090--0.88644915) × cos(0.46405734) × R
    0.000191749999999935 × 0.894243878653715 × 6371000
    do = 1092.44342123525m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88664090--0.88644915) × cos(0.46388587) × R
    0.000191749999999935 × 0.89432061205525 × 6371000
    du = 1092.53716177035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.46405734)-sin(0.46388587))×
    abs(λ12)×abs(0.894243878653715-0.89432061205525)×
    abs(-0.88644915--0.88664090)×7.67334015345789e-05×
    0.000191749999999935×7.67334015345789e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.67334015345789e-05×40589641000000
    ar = 1193475.03874331m²