Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1176 / 870
↖ ↑ ↗
← N 26.115986°
E 26.718750°		 ← 17.550 km → N 26.115986°
E 26.894531°		 →
↑
17.562 km
↓
↑
17.562 km
↓
N 25.958045°
E 26.718750°		 ← 17.574 km →
308.433 km²		 N 25.958045°
E 26.894531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574462890625 y=0.425048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574462890625 × 211)
    floor (0.574462890625 × 2048)
    floor (1176.5)     		tx = 1176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425048828125 × 211)
    floor (0.425048828125 × 2048)
    floor (870.5)     		ty = 870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1176 / 870 ti = "11/1176/870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1176/870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1176 ÷ 211
    1176 ÷ 2048     		x = 0.57421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 870 ÷ 211
    870 ÷ 2048     		y = 0.4248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57421875 × 2 - 1) × π
    0.1484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46633016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4248046875 × 2 - 1) × π
    0.150390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.472466082655273
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46633016} λ = 0.46633016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.472466082655273))-π/2
    2×atan(1.60394478038089)-π/2
    2×1.01330313429217-π/2
    2.02660626858434-1.57079632675     		φ = 0.45580994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46633016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.718750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45580994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.115986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1176 KachelY 870 0.46633016 0.45580994 26.718750 26.115986
    Oben rechts KachelX + 1 1177 KachelY 870 0.46939812 0.45580994 26.894531 26.115986
    Unten links KachelX 1176 KachelY + 1 871 0.46633016 0.45305335 26.718750 25.958045
    Unten rechts KachelX + 1 1177 KachelY + 1 871 0.46939812 0.45305335 26.894531 25.958045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45580994-0.45305335) × R
    0.00275659 × 6371000     		dl = 17562.23489m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45580994-0.45305335) × R
    0.00275659 × 6371000     		dr = 17562.23489m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46633016-0.46939812) × cos(0.45580994) × R
    0.00306795999999998 × 0.897904795480173 × 6371000     		do = 17550.4230326906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46633016-0.46939812) × cos(0.45305335) × R
    0.00306795999999998 × 0.89911480499604 × 6371000     		du = 17574.0738462111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45580994)-sin(0.45305335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897904795480173-0.89911480499604)×R²
    abs(0.46939812-0.46633016)×0.00121000951586703×R²
    0.00306795999999998×0.00121000951586703×6371000²
    0.00306795999999998×0.00121000951586703×40589641000000     		ar = 308432527.599657m²