Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1176 / 488
↖ ↑ ↗
← N 82.809512°
W128.320312°		 ← 611.64 m → N 82.809512°
W128.276367°		 →
↑
611.87 m
↓
↑
611.87 m
↓
N 82.804009°
W128.320312°		 ← 612.10 m →
374 384 m²		 N 82.804009°
W128.276367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.14361572265625 y=0.05963134765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.14361572265625 × 213)
    floor (0.14361572265625 × 8192)
    floor (1176.5)     		tx = 1176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.05963134765625 × 213)
    floor (0.05963134765625 × 8192)
    floor (488.5)     		ty = 488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1176 / 488 ti = "13/1176/488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1176/488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1176 ÷ 213
    1176 ÷ 8192     		x = 0.1435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 488 ÷ 213
    488 ÷ 8192     		y = 0.0595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1435546875 × 2 - 1) × π
    -0.712890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.23961195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0595703125 × 2 - 1) × π
    0.880859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.7673013412666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23961195} λ = -2.23961195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.7673013412666))-π/2
    2×atan(15.9156251619537)-π/2
    2×1.50804747637599-π/2
    3.01609495275198-1.57079632675     		φ = 1.44529863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23961195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.320312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44529863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.809512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1176 KachelY 488 -2.23961195 1.44529863 -128.320312 82.809512
    Oben rechts KachelX + 1 1177 KachelY 488 -2.23884496 1.44529863 -128.276367 82.809512
    Unten links KachelX 1176 KachelY + 1 489 -2.23961195 1.44520259 -128.320312 82.804009
    Unten rechts KachelX + 1 1177 KachelY + 1 489 -2.23884496 1.44520259 -128.276367 82.804009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44529863-1.44520259) × R
    9.60399999998529e-05 × 6371000     		dl = 611.870839999063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44529863-1.44520259) × R
    9.60399999998529e-05 × 6371000     		dr = 611.870839999063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23961195--2.23884496) × cos(1.44529863) × R
    0.000766989999999801 × 0.125168531522629 × 6371000     		do = 611.635189404321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23961195--2.23884496) × cos(1.44520259) × R
    0.000766989999999801 × 0.125263815638081 × 6371000     		du = 612.100794595123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44529863)-sin(1.44520259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.125168531522629-0.125263815638081)×R²
    abs(-2.23884496--2.23961195)×9.52841154524819e-05×R²
    0.000766989999999801×9.52841154524819e-05×6371000²
    0.000766989999999801×9.52841154524819e-05×40589641000000     		ar = 374384.182520701m²