Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 11758 / 6638
↖ ↑ ↗
← N 80.663090°
W115.411377°		 ← 99.09 m → N 80.663090°
W115.405884°		 →
↑
99.13 m
↓
↑
99.13 m
↓
N 80.662199°
W115.411377°		 ← 99.10 m →
9 824 m²		 N 80.662199°
W115.405884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.179420471191406 y=0.101295471191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.179420471191406 × 216)
    floor (0.179420471191406 × 65536)
    floor (11758.5)     		tx = 11758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101295471191406 × 216)
    floor (0.101295471191406 × 65536)
    floor (6638.5)     		ty = 6638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11758 / 6638 ti = "16/11758/6638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11758/6638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11758 ÷ 216
    11758 ÷ 65536     		x = 0.179412841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6638 ÷ 216
    6638 ÷ 65536     		y = 0.101287841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.179412841796875 × 2 - 1) × π
    -0.64117431640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.01430852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101287841796875 × 2 - 1) × π
    0.79742431640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.50518237414413
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01430852} λ = -2.01430852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50518237414413))-π/2
    2×atan(12.2457920780133)-π/2
    2×1.48931641747723-π/2
    2.97863283495446-1.57079632675     		φ = 1.40783651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01430852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.411377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40783651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.663090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11758 KachelY 6638 -2.01430852 1.40783651 -115.411377 80.663090
    Oben rechts KachelX + 1 11759 KachelY 6638 -2.01421265 1.40783651 -115.405884 80.663090
    Unten links KachelX 11758 KachelY + 1 6639 -2.01430852 1.40782095 -115.411377 80.662199
    Unten rechts KachelX + 1 11759 KachelY + 1 6639 -2.01421265 1.40782095 -115.405884 80.662199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40783651-1.40782095) × R
    1.55600000000256e-05 × 6371000     		dl = 99.1327600001628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40783651-1.40782095) × R
    1.55600000000256e-05 × 6371000     		dr = 99.1327600001628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01430852--2.01421265) × cos(1.40783651) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.162239516387278 × 6371000     		do = 99.0939124200619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01430852--2.01421265) × cos(1.40782095) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.162254870219531 × 6371000     		du = 99.1032903530246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40783651)-sin(1.40782095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162239516387278-0.162254870219531)×R²
    abs(-2.01421265--2.01430852)×1.53538322529567e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.53538322529567e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.53538322529567e-05×40589641000000     		ar = 9823.9178678846m²