Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 11757 / 6638
↖ ↑ ↗
← N 80.663090°
W115.416870°		 ← 99.10 m → N 80.663090°
W115.411377°		 →
↑
99.13 m
↓
↑
99.13 m
↓
N 80.662199°
W115.416870°		 ← 99.11 m →
9 825 m²		 N 80.662199°
W115.411377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.179405212402344 y=0.101295471191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.179405212402344 × 216)
    floor (0.179405212402344 × 65536)
    floor (11757.5)     		tx = 11757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101295471191406 × 216)
    floor (0.101295471191406 × 65536)
    floor (6638.5)     		ty = 6638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11757 / 6638 ti = "16/11757/6638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11757/6638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11757 ÷ 216
    11757 ÷ 65536     		x = 0.179397583007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6638 ÷ 216
    6638 ÷ 65536     		y = 0.101287841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.179397583007812 × 2 - 1) × π
    -0.641204833984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.01440440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101287841796875 × 2 - 1) × π
    0.79742431640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.50518237414413
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01440440} λ = -2.01440440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50518237414413))-π/2
    2×atan(12.2457920780133)-π/2
    2×1.48931641747723-π/2
    2.97863283495446-1.57079632675     		φ = 1.40783651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01440440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.416870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40783651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.663090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11757 KachelY 6638 -2.01440440 1.40783651 -115.416870 80.663090
    Oben rechts KachelX + 1 11758 KachelY 6638 -2.01430852 1.40783651 -115.411377 80.663090
    Unten links KachelX 11757 KachelY + 1 6639 -2.01440440 1.40782095 -115.416870 80.662199
    Unten rechts KachelX + 1 11758 KachelY + 1 6639 -2.01430852 1.40782095 -115.411377 80.662199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40783651-1.40782095) × R
    1.55600000000256e-05 × 6371000     		dl = 99.1327600001628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40783651-1.40782095) × R
    1.55600000000256e-05 × 6371000     		dr = 99.1327600001628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01440440--2.01430852) × cos(1.40783651) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.162239516387278 × 6371000     		do = 99.1042486995881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01440440--2.01430852) × cos(1.40782095) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.162254870219531 × 6371000     		du = 99.1136276107435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40783651)-sin(1.40782095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162239516387278-0.162254870219531)×R²
    abs(-2.01430852--2.01440440)×1.53538322529567e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.53538322529567e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.53538322529567e-05×40589641000000     		ar = 9824.94258028766m²