Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11753 / 14243
↖ ↑ ↗
← N 22.887562°
W 50.877686°		 ← 1 125.46 m → N 22.887562°
W 50.866699°		 →
↑
1 125.50 m
↓
↑
1 125.50 m
↓
N 22.877440°
W 50.877686°		 ← 1 125.54 m →
1 266 753 m²		 N 22.877440°
W 50.866699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.358688354492188 y=0.434677124023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.358688354492188 × 215)
    floor (0.358688354492188 × 32768)
    floor (11753.5)     		tx = 11753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434677124023438 × 215)
    floor (0.434677124023438 × 32768)
    floor (14243.5)     		ty = 14243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11753 / 14243 ti = "15/11753/14243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11753/14243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11753 ÷ 215
    11753 ÷ 32768     		x = 0.358673095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14243 ÷ 215
    14243 ÷ 32768     		y = 0.434661865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.358673095703125 × 2 - 1) × π
    -0.28265380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.88798313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434661865234375 × 2 - 1) × π
    0.13067626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.410531608346161
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88798313} λ = -0.88798313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.410531608346161))-π/2
    2×atan(1.50761903498025)-π/2
    2×0.985129822596964-π/2
    1.97025964519393-1.57079632675     		φ = 0.39946332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88798313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.877686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39946332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.887562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11753 KachelY 14243 -0.88798313 0.39946332 -50.877686 22.887562
    Oben rechts KachelX + 1 11754 KachelY 14243 -0.88779138 0.39946332 -50.866699 22.887562
    Unten links KachelX 11753 KachelY + 1 14244 -0.88798313 0.39928666 -50.877686 22.877440
    Unten rechts KachelX + 1 11754 KachelY + 1 14244 -0.88779138 0.39928666 -50.866699 22.877440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39946332-0.39928666) × R
    0.000176659999999995 × 6371000     		dl = 1125.50085999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39946332-0.39928666) × R
    0.000176659999999995 × 6371000     		dr = 1125.50085999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88798313--0.88779138) × cos(0.39946332) × R
    0.000191749999999935 × 0.921269854384315 × 6371000     		do = 1125.45941395728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88798313--0.88779138) × cos(0.39928666) × R
    0.000191749999999935 × 0.921338547316873 × 6371000     		du = 1125.54333193989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39946332)-sin(0.39928666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921269854384315-0.921338547316873)×R²
    abs(-0.88779138--0.88798313)×6.86929325585117e-05×R²
    0.000191749999999935×6.86929325585117e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.86929325585117e-05×40589641000000     		ar = 1266752.76647943m²