Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 11750 / 4638
↖ ↑ ↗
← N 82.286806°
W115.455322°		 ← 81.98 m → N 82.286806°
W115.449829°		 →
↑
81.99 m
↓
↑
81.99 m
↓
N 82.286069°
W115.455322°		 ← 81.98 m →
6 722 m²		 N 82.286069°
W115.449829°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.179298400878906 y=0.0707778930664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.179298400878906 × 216)
    floor (0.179298400878906 × 65536)
    floor (11750.5)     		tx = 11750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0707778930664062 × 216)
    floor (0.0707778930664062 × 65536)
    floor (4638.5)     		ty = 4638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11750 / 4638 ti = "16/11750/4638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11750/4638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11750 ÷ 216
    11750 ÷ 65536     		x = 0.179290771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4638 ÷ 216
    4638 ÷ 65536     		y = 0.070770263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.179290771484375 × 2 - 1) × π
    -0.64141845703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.01507551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.070770263671875 × 2 - 1) × π
    0.85845947265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.69692997262436
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01507551} λ = -2.01507551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69692997262436))-π/2
    2×atan(14.8341205906746)-π/2
    2×1.50348601261674-π/2
    3.00697202523349-1.57079632675     		φ = 1.43617570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01507551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.455322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43617570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.286806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11750 KachelY 4638 -2.01507551 1.43617570 -115.455322 82.286806
    Oben rechts KachelX + 1 11751 KachelY 4638 -2.01497964 1.43617570 -115.449829 82.286806
    Unten links KachelX 11750 KachelY + 1 4639 -2.01507551 1.43616283 -115.455322 82.286069
    Unten rechts KachelX + 1 11751 KachelY + 1 4639 -2.01497964 1.43616283 -115.449829 82.286069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43617570-1.43616283) × R
    1.28699999999426e-05 × 6371000     		dl = 81.9947699996346m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43617570-1.43616283) × R
    1.28699999999426e-05 × 6371000     		dr = 81.9947699996346m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01507551--2.01497964) × cos(1.43617570) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.134214379917016 × 6371000     		do = 81.976501811445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01507551--2.01497964) × cos(1.43616283) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.134227133462256 × 6371000     		du = 81.9842915209021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43617570)-sin(1.43616283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134214379917016-0.134227133462256)×R²
    abs(-2.01497964--2.01507551)×1.27535452406902e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.27535452406902e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.27535452406902e-05×40589641000000     		ar = 6721.96376907293m²