Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1175 / 871
↖ ↑ ↗
← N 25.958045°
E 26.542969°		 ← 17.574 km → N 25.958045°
E 26.718750°		 →
↑
17.586 km
↓
↑
17.586 km
↓
N 25.799891°
E 26.542969°		 ← 17.598 km →
309.263 km²		 N 25.799891°
E 26.718750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573974609375 y=0.425537109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573974609375 × 211)
    floor (0.573974609375 × 2048)
    floor (1175.5)     		tx = 1175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425537109375 × 211)
    floor (0.425537109375 × 2048)
    floor (871.5)     		ty = 871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1175 / 871 ti = "11/1175/871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1175/871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1175 ÷ 211
    1175 ÷ 2048     		x = 0.57373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 871 ÷ 211
    871 ÷ 2048     		y = 0.42529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57373046875 × 2 - 1) × π
    0.1474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46326220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42529296875 × 2 - 1) × π
    0.1494140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.46939812107959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46326220} λ = 0.46326220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.46939812107959))-π/2
    2×atan(1.59903148018709)-π/2
    2×1.011924836856-π/2
    2.02384967371201-1.57079632675     		φ = 0.45305335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46326220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.542969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45305335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.958045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1175 KachelY 871 0.46326220 0.45305335 26.542969 25.958045
    Oben rechts KachelX + 1 1176 KachelY 871 0.46633016 0.45305335 26.718750 25.958045
    Unten links KachelX 1175 KachelY + 1 872 0.46326220 0.45029305 26.542969 25.799891
    Unten rechts KachelX + 1 1176 KachelY + 1 872 0.46633016 0.45029305 26.718750 25.799891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45305335-0.45029305) × R
    0.00276030000000005 × 6371000     		dl = 17585.8713000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45305335-0.45029305) × R
    0.00276030000000005 × 6371000     		dr = 17585.8713000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46326220-0.46633016) × cos(0.45305335) × R
    0.00306795999999998 × 0.89911480499604 × 6371000     		do = 17574.0738462111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46326220-0.46633016) × cos(0.45029305) × R
    0.00306795999999998 × 0.900319597040296 × 6371000     		du = 17597.6226791715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45305335)-sin(0.45029305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89911480499604-0.900319597040296)×R²
    abs(0.46633016-0.46326220)×0.00120479204425605×R²
    0.00306795999999998×0.00120479204425605×6371000²
    0.00306795999999998×0.00120479204425605×40589641000000     		ar = 309262660.611664m²