Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 11748 / 4644
↖ ↑ ↗
← N 82.282381°
W115.466309°		 ← 82.02 m → N 82.282381°
W115.460816°		 →
↑
81.99 m
↓
↑
81.99 m
↓
N 82.281644°
W115.466309°		 ← 82.03 m →
6 726 m²		 N 82.281644°
W115.460816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.179267883300781 y=0.0708694458007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.179267883300781 × 216)
    floor (0.179267883300781 × 65536)
    floor (11748.5)     		tx = 11748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0708694458007812 × 216)
    floor (0.0708694458007812 × 65536)
    floor (4644.5)     		ty = 4644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11748 / 4644 ti = "16/11748/4644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11748/4644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11748 ÷ 216
    11748 ÷ 65536     		x = 0.17926025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4644 ÷ 216
    4644 ÷ 65536     		y = 0.07086181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.17926025390625 × 2 - 1) × π
    -0.6414794921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.01526726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07086181640625 × 2 - 1) × π
    0.8582763671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.69635472982892
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01526726} λ = -2.01526726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69635472982892))-π/2
    2×atan(14.8255898235445)-π/2
    2×1.50344739868413-π/2
    3.00689479736826-1.57079632675     		φ = 1.43609847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01526726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.466309°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43609847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.282381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11748 KachelY 4644 -2.01526726 1.43609847 -115.466309 82.282381
    Oben rechts KachelX + 1 11749 KachelY 4644 -2.01517139 1.43609847 -115.460816 82.282381
    Unten links KachelX 11748 KachelY + 1 4645 -2.01526726 1.43608560 -115.466309 82.281644
    Unten rechts KachelX + 1 11749 KachelY + 1 4645 -2.01517139 1.43608560 -115.460816 82.281644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43609847-1.43608560) × R
    1.28699999999426e-05 × 6371000     		dl = 81.9947699996346m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43609847-1.43608560) × R
    1.28699999999426e-05 × 6371000     		dr = 81.9947699996346m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01526726--2.01517139) × cos(1.43609847) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.134290910764343 × 6371000     		do = 82.0232459170202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01526726--2.01517139) × cos(1.43608560) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.134303664176137 × 6371000     		du = 82.0310355449697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43609847)-sin(1.43608560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134290910764343-0.134303664176137)×R²
    abs(-2.01517139--2.01526726)×1.27534117939088e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.27534117939088e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.27534117939088e-05×40589641000000     		ar = 6725.79653824881m²