Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11748 / 13795
↖ ↑ ↗
← N 27.342494°
W 50.932617°		 ← 1 085.15 m → N 27.342494°
W 50.921631°		 →
↑
1 085.17 m
↓
↑
1 085.17 m
↓
N 27.332735°
W 50.932617°		 ← 1 085.25 m →
1 177 631 m²		 N 27.332735°
W 50.921631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.358535766601562 y=0.421005249023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.358535766601562 × 215)
    floor (0.358535766601562 × 32768)
    floor (11748.5)     		tx = 11748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421005249023438 × 215)
    floor (0.421005249023438 × 32768)
    floor (13795.5)     		ty = 13795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11748 / 13795 ti = "15/11748/13795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11748/13795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11748 ÷ 215
    11748 ÷ 32768     		x = 0.3585205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13795 ÷ 215
    13795 ÷ 32768     		y = 0.420989990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3585205078125 × 2 - 1) × π
    -0.282958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.88894187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420989990234375 × 2 - 1) × π
    0.15802001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.496434532465302
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88894187} λ = -0.88894187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.496434532465302))-π/2
    2×atan(1.64285327582473)-π/2
    2×1.02400644047164-π/2
    2.04801288094328-1.57079632675     		φ = 0.47721655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88894187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.932617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47721655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.342494°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11748 KachelY 13795 -0.88894187 0.47721655 -50.932617 27.342494
    Oben rechts KachelX + 1 11749 KachelY 13795 -0.88875012 0.47721655 -50.921631 27.342494
    Unten links KachelX 11748 KachelY + 1 13796 -0.88894187 0.47704622 -50.932617 27.332735
    Unten rechts KachelX + 1 11749 KachelY + 1 13796 -0.88875012 0.47704622 -50.921631 27.332735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47721655-0.47704622) × R
    0.000170329999999996 × 6371000     		dl = 1085.17242999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47721655-0.47704622) × R
    0.000170329999999996 × 6371000     		dr = 1085.17242999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88894187--0.88875012) × cos(0.47721655) × R
    0.000191750000000046 × 0.888276824329722 × 6371000     		do = 1085.1538334668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88894187--0.88875012) × cos(0.47704622) × R
    0.000191750000000046 × 0.888355045457921 × 6371000     		du = 1085.24939146719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47721655)-sin(0.47704622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888276824329722-0.888355045457921)×R²
    abs(-0.88875012--0.88894187)×7.82211281992184e-05×R²
    0.000191750000000046×7.82211281992184e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.82211281992184e-05×40589641000000     		ar = 1177630.87368804m²