Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11744 / 13792
↖ ↑ ↗
← N 27.371767°
W 50.976563°		 ← 1 084.87 m → N 27.371767°
W 50.965576°		 →
↑
1 084.92 m
↓
↑
1 084.92 m
↓
N 27.362010°
W 50.976563°		 ← 1 084.96 m →
1 177 043 m²		 N 27.362010°
W 50.965576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.358413696289062 y=0.420913696289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.358413696289062 × 215)
    floor (0.358413696289062 × 32768)
    floor (11744.5)     		tx = 11744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420913696289062 × 215)
    floor (0.420913696289062 × 32768)
    floor (13792.5)     		ty = 13792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11744 / 13792 ti = "15/11744/13792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11744/13792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11744 ÷ 215
    11744 ÷ 32768     		x = 0.3583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13792 ÷ 215
    13792 ÷ 32768     		y = 0.4208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3583984375 × 2 - 1) × π
    -0.283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.88970886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4208984375 × 2 - 1) × π
    0.158203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.497009775260742
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88970886} λ = -0.88970886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.497009775260742))-π/2
    2×atan(1.64379858720132)-π/2
    2×1.02426189413306-π/2
    2.04852378826613-1.57079632675     		φ = 0.47772746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88970886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.976563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47772746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.371767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11744 KachelY 13792 -0.88970886 0.47772746 -50.976563 27.371767
    Oben rechts KachelX + 1 11745 KachelY 13792 -0.88951711 0.47772746 -50.965576 27.371767
    Unten links KachelX 11744 KachelY + 1 13793 -0.88970886 0.47755717 -50.976563 27.362010
    Unten rechts KachelX + 1 11745 KachelY + 1 13793 -0.88951711 0.47755717 -50.965576 27.362010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47772746-0.47755717) × R
    0.000170290000000017 × 6371000     		dl = 1084.91759000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47772746-0.47755717) × R
    0.000170290000000017 × 6371000     		dr = 1084.91759000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88970886--0.88951711) × cos(0.47772746) × R
    0.000191750000000046 × 0.88804204310942 × 6371000     		do = 1084.86701551292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88970886--0.88951711) × cos(0.47755717) × R
    0.000191750000000046 × 0.888120323147151 × 6371000     		du = 1084.9626454795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47772746)-sin(0.47755717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88804204310942-0.888120323147151)×R²
    abs(-0.88951711--0.88970886)×7.82800377312487e-05×R²
    0.000191750000000046×7.82800377312487e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.82800377312487e-05×40589641000000     		ar = 1177043.18610191m²