Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11743 / 14048
↖ ↑ ↗
← N 24.846565°
W 50.987549°		 ← 1 108.50 m → N 24.846565°
W 50.976563°		 →
↑
1 108.55 m
↓
↑
1 108.55 m
↓
N 24.836596°
W 50.987549°		 ← 1 108.59 m →
1 228 884 m²		 N 24.836596°
W 50.976563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.358383178710938 y=0.428726196289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.358383178710938 × 215)
    floor (0.358383178710938 × 32768)
    floor (11743.5)     		tx = 11743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428726196289062 × 215)
    floor (0.428726196289062 × 32768)
    floor (14048.5)     		ty = 14048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11743 / 14048 ti = "15/11743/14048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11743/14048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11743 ÷ 215
    11743 ÷ 32768     		x = 0.358367919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14048 ÷ 215
    14048 ÷ 32768     		y = 0.4287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.358367919921875 × 2 - 1) × π
    -0.28326416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.88990060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4287109375 × 2 - 1) × π
    0.142578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.447922390049805
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88990060} λ = -0.88990060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.447922390049805))-π/2
    2×atan(1.56505722692656)-π/2
    2×1.00222534996082-π/2
    2.00445069992164-1.57079632675     		φ = 0.43365437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88990060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.987549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43365437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.846565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11743 KachelY 14048 -0.88990060 0.43365437 -50.987549 24.846565
    Oben rechts KachelX + 1 11744 KachelY 14048 -0.88970886 0.43365437 -50.976563 24.846565
    Unten links KachelX 11743 KachelY + 1 14049 -0.88990060 0.43348037 -50.987549 24.836596
    Unten rechts KachelX + 1 11744 KachelY + 1 14049 -0.88970886 0.43348037 -50.976563 24.836596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43365437-0.43348037) × R
    0.000174000000000007 × 6371000     		dl = 1108.55400000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43365437-0.43348037) × R
    0.000174000000000007 × 6371000     		dr = 1108.55400000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88990060--0.88970886) × cos(0.43365437) × R
    0.000191739999999996 × 0.907436283562814 × 6371000     		do = 1108.50196810881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88990060--0.88970886) × cos(0.43348037) × R
    0.000191739999999996 × 0.907509382834984 × 6371000     		du = 1108.59126439169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43365437)-sin(0.43348037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907436283562814-0.907509382834984)×R²
    abs(-0.88970886--0.88990060)×7.30992721695856e-05×R²
    0.000191739999999996×7.30992721695856e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.30992721695856e-05×40589641000000     		ar = 1228883.78873105m²