Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11741 / 14050
↖ ↑ ↗
← N 24.826625°
W 51.009521°		 ← 1 108.74 m → N 24.826625°
W 50.998535°		 →
↑
1 108.81 m
↓
↑
1 108.81 m
↓
N 24.816653°
W 51.009521°		 ← 1 108.83 m →
1 229 428 m²		 N 24.816653°
W 50.998535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.358322143554688 y=0.428787231445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.358322143554688 × 215)
    floor (0.358322143554688 × 32768)
    floor (11741.5)     		tx = 11741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428787231445312 × 215)
    floor (0.428787231445312 × 32768)
    floor (14050.5)     		ty = 14050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11741 / 14050 ti = "15/11741/14050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11741/14050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11741 ÷ 215
    11741 ÷ 32768     		x = 0.358306884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14050 ÷ 215
    14050 ÷ 32768     		y = 0.42877197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.358306884765625 × 2 - 1) × π
    -0.28338623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.89028410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42877197265625 × 2 - 1) × π
    0.1424560546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.447538894852844
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.89028410} λ = -0.89028410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.447538894852844))-π/2
    2×atan(1.56445715006771)-π/2
    2×1.00205133721655-π/2
    2.00410267443309-1.57079632675     		φ = 0.43330635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.89028410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.009521°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43330635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.826625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11741 KachelY 14050 -0.89028410 0.43330635 -51.009521 24.826625
    Oben rechts KachelX + 1 11742 KachelY 14050 -0.89009235 0.43330635 -50.998535 24.826625
    Unten links KachelX 11741 KachelY + 1 14051 -0.89028410 0.43313231 -51.009521 24.816653
    Unten rechts KachelX + 1 11742 KachelY + 1 14051 -0.89009235 0.43313231 -50.998535 24.816653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43330635-0.43313231) × R
    0.000174039999999986 × 6371000     		dl = 1108.80883999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43330635-0.43313231) × R
    0.000174039999999986 × 6371000     		dr = 1108.80883999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.89028410--0.89009235) × cos(0.43330635) × R
    0.000191750000000046 × 0.907582463028877 × 6371000     		do = 1108.73835944802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.89028410--0.89009235) × cos(0.43313231) × R
    0.000191750000000046 × 0.907655524132805 × 6371000     		du = 1108.82761376022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43330635)-sin(0.43313231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907582463028877-0.907655524132805)×R²
    abs(-0.89009235--0.89028410)×7.30611039280182e-05×R²
    0.000191750000000046×7.30611039280182e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.30611039280182e-05×40589641000000     		ar = 1229428.38029112m²