Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 11739 / 4635
↖ ↑ ↗
← N 82.289018°
W115.515747°		 ← 81.95 m → N 82.289018°
W115.510254°		 →
↑
81.99 m
↓
↑
81.99 m
↓
N 82.288280°
W115.515747°		 ← 81.96 m →
6 720 m²		 N 82.288280°
W115.510254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.179130554199219 y=0.0707321166992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.179130554199219 × 216)
    floor (0.179130554199219 × 65536)
    floor (11739.5)     		tx = 11739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0707321166992188 × 216)
    floor (0.0707321166992188 × 65536)
    floor (4635.5)     		ty = 4635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11739 / 4635 ti = "16/11739/4635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11739/4635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11739 ÷ 216
    11739 ÷ 65536     		x = 0.179122924804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4635 ÷ 216
    4635 ÷ 65536     		y = 0.0707244873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.179122924804688 × 2 - 1) × π
    -0.641754150390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.01613012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0707244873046875 × 2 - 1) × π
    0.858551025390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.69721759402208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01613012} λ = -2.01613012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69721759402208))-π/2
    2×atan(14.8383878148159)-π/2
    2×1.50350531133035-π/2
    3.00701062266071-1.57079632675     		φ = 1.43621430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01613012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.515747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43621430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.289018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11739 KachelY 4635 -2.01613012 1.43621430 -115.515747 82.289018
    Oben rechts KachelX + 1 11740 KachelY 4635 -2.01603425 1.43621430 -115.510254 82.289018
    Unten links KachelX 11739 KachelY + 1 4636 -2.01613012 1.43620143 -115.515747 82.288280
    Unten rechts KachelX + 1 11740 KachelY + 1 4636 -2.01603425 1.43620143 -115.510254 82.288280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43621430-1.43620143) × R
    1.28700000001647e-05 × 6371000     		dl = 81.9947700010493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43621430-1.43620143) × R
    1.28700000001647e-05 × 6371000     		dr = 81.9947700010493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01613012--2.01603425) × cos(1.43621430) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.134176129057492 × 6371000     		do = 81.9531386542558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01613012--2.01603425) × cos(1.43620143) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.134188882669402 × 6371000     		du = 81.9609284044336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43621430)-sin(1.43620143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134176129057492-0.134188882669402)×R²
    abs(-2.01603425--2.01613012)×1.27536119098326e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.27536119098326e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.27536119098326e-05×40589641000000     		ar = 6720.04811460604m²