Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 11738 / 4630
↖ ↑ ↗
← N 82.292702°
W115.521240°		 ← 81.92 m → N 82.292702°
W115.515747°		 →
↑
81.93 m
↓
↑
81.93 m
↓
N 82.291965°
W115.521240°		 ← 81.93 m →
6 712 m²		 N 82.291965°
W115.515747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.179115295410156 y=0.0706558227539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.179115295410156 × 216)
    floor (0.179115295410156 × 65536)
    floor (11738.5)     		tx = 11738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0706558227539062 × 216)
    floor (0.0706558227539062 × 65536)
    floor (4630.5)     		ty = 4630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11738 / 4630 ti = "16/11738/4630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11738/4630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11738 ÷ 216
    11738 ÷ 65536     		x = 0.179107666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4630 ÷ 216
    4630 ÷ 65536     		y = 0.070648193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.179107666015625 × 2 - 1) × π
    -0.64178466796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.01622600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.070648193359375 × 2 - 1) × π
    0.85870361328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.69769696301828
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01622600} λ = -2.01622600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69769696301828))-π/2
    2×atan(14.8455025830513)-π/2
    2×1.50353746363214-π/2
    3.00707492726427-1.57079632675     		φ = 1.43627860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01622600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.521240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43627860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.292702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11738 KachelY 4630 -2.01622600 1.43627860 -115.521240 82.292702
    Oben rechts KachelX + 1 11739 KachelY 4630 -2.01613012 1.43627860 -115.515747 82.292702
    Unten links KachelX 11738 KachelY + 1 4631 -2.01622600 1.43626574 -115.521240 82.291965
    Unten rechts KachelX + 1 11739 KachelY + 1 4631 -2.01613012 1.43626574 -115.515747 82.291965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43627860-1.43626574) × R
    1.28600000000034e-05 × 6371000     		dl = 81.9310600000218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43627860-1.43626574) × R
    1.28600000000034e-05 × 6371000     		dr = 81.9310600000218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01622600--2.01613012) × cos(1.43627860) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.134112410212924 × 6371000     		do = 81.9227642648781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01622600--2.01613012) × cos(1.43626574) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.134125154026205 × 6371000     		du = 81.9305488420815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43627860)-sin(1.43626574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134112410212924-0.134125154026205)×R²
    abs(-2.01613012--2.01622600)×1.27438132808688e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.27438132808688e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.27438132808688e-05×40589641000000     		ar = 6712.33781351237m²