Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 11734 / 4634
↖ ↑ ↗
← N 82.289755°
W115.543213°		 ← 81.95 m → N 82.289755°
W115.537720°		 →
↑
81.93 m
↓
↑
81.93 m
↓
N 82.289018°
W115.543213°		 ← 81.95 m →
6 714 m²		 N 82.289018°
W115.537720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.179054260253906 y=0.0707168579101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.179054260253906 × 216)
    floor (0.179054260253906 × 65536)
    floor (11734.5)     		tx = 11734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0707168579101562 × 216)
    floor (0.0707168579101562 × 65536)
    floor (4634.5)     		ty = 4634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11734 / 4634 ti = "16/11734/4634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11734/4634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11734 ÷ 216
    11734 ÷ 65536     		x = 0.179046630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4634 ÷ 216
    4634 ÷ 65536     		y = 0.070709228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.179046630859375 × 2 - 1) × π
    -0.64190673828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.01660949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.070709228515625 × 2 - 1) × π
    0.85858154296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.69731346782132
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01660949} λ = -2.01660949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69731346782132))-π/2
    2×atan(14.8398104956281)-π/2
    2×1.50351174301265-π/2
    3.0070234860253-1.57079632675     		φ = 1.43622716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01660949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.543213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43622716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.289755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11734 KachelY 4634 -2.01660949 1.43622716 -115.543213 82.289755
    Oben rechts KachelX + 1 11735 KachelY 4634 -2.01651362 1.43622716 -115.537720 82.289755
    Unten links KachelX 11734 KachelY + 1 4635 -2.01660949 1.43621430 -115.543213 82.289018
    Unten rechts KachelX + 1 11735 KachelY + 1 4635 -2.01651362 1.43621430 -115.537720 82.289018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43622716-1.43621430) × R
    1.28600000000034e-05 × 6371000     		dl = 81.9310600000218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43622716-1.43621430) × R
    1.28600000000034e-05 × 6371000     		dr = 81.9310600000218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01660949--2.01651362) × cos(1.43622716) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.13416338533295 × 6371000     		do = 81.9453549431613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01660949--2.01651362) × cos(1.43621430) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.134176129057492 × 6371000     		du = 81.9531386542558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43622716)-sin(1.43621430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.13416338533295-0.134176129057492)×R²
    abs(-2.01651362--2.01660949)×1.27437245419637e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.27437245419637e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.27437245419637e-05×40589641000000     		ar = 6714.18865639993m²