Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 11731 / 5707
↖ ↑ ↗
← N 81.457289°
W115.559692°		 ← 90.73 m → N 81.457289°
W115.554199°		 →
↑
90.72 m
↓
↑
90.72 m
↓
N 81.456474°
W115.559692°		 ← 90.74 m →
8 232 m²		 N 81.456474°
W115.554199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.179008483886719 y=0.0870895385742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.179008483886719 × 216)
    floor (0.179008483886719 × 65536)
    floor (11731.5)     		tx = 11731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0870895385742188 × 216)
    floor (0.0870895385742188 × 65536)
    floor (5707.5)     		ty = 5707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11731 / 5707 ti = "16/11731/5707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11731/5707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11731 ÷ 216
    11731 ÷ 65536     		x = 0.179000854492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5707 ÷ 216
    5707 ÷ 65536     		y = 0.0870819091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.179000854492188 × 2 - 1) × π
    -0.641998291015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.01689711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0870819091796875 × 2 - 1) × π
    0.825836181640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.59444088123668
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01689711} λ = -2.01689711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59444088123668))-π/2
    2×atan(13.3890991716384)-π/2
    2×1.49624711536845-π/2
    2.99249423073689-1.57079632675     		φ = 1.42169790
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01689711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.559692°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42169790 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.457289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11731 KachelY 5707 -2.01689711 1.42169790 -115.559692 81.457289
    Oben rechts KachelX + 1 11732 KachelY 5707 -2.01680124 1.42169790 -115.554199 81.457289
    Unten links KachelX 11731 KachelY + 1 5708 -2.01689711 1.42168366 -115.559692 81.456474
    Unten rechts KachelX + 1 11732 KachelY + 1 5708 -2.01680124 1.42168366 -115.554199 81.456474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42169790-1.42168366) × R
    1.42400000000542e-05 × 6371000     		dl = 90.7230400003454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42169790-1.42168366) × R
    1.42400000000542e-05 × 6371000     		dr = 90.7230400003454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01689711--2.01680124) × cos(1.42169790) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.148546622350306 × 6371000     		do = 90.7304602063736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01689711--2.01680124) × cos(1.42168366) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.148560704348219 × 6371000     		du = 90.7390613184758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42169790)-sin(1.42168366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148546622350306-0.148560704348219)×R²
    abs(-2.01680124--2.01689711)×1.40819979126405e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.40819979126405e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.40819979126405e-05×40589641000000     		ar = 8231.73333033655m²