Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1173 / 869
↖ ↑ ↗
← N 26.273714°
E 26.191406°		 ← 17.527 km → N 26.273714°
E 26.367188°		 →
↑
17.539 km
↓
↑
17.539 km
↓
N 26.115986°
E 26.191406°		 ← 17.550 km →
307.603 km²		 N 26.115986°
E 26.367188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572998046875 y=0.424560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572998046875 × 211)
    floor (0.572998046875 × 2048)
    floor (1173.5)     		tx = 1173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424560546875 × 211)
    floor (0.424560546875 × 2048)
    floor (869.5)     		ty = 869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1173 / 869 ti = "11/1173/869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1173/869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1173 ÷ 211
    1173 ÷ 2048     		x = 0.57275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 869 ÷ 211
    869 ÷ 2048     		y = 0.42431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57275390625 × 2 - 1) × π
    0.1455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45712627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42431640625 × 2 - 1) × π
    0.1513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.475534044230957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45712627} λ = 0.45712627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.475534044230957))-π/2
    2×atan(1.6088731775375)-π/2
    2×1.01467957161801-π/2
    2.02935914323601-1.57079632675     		φ = 0.45856282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45712627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.191406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45856282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.273714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1173 KachelY 869 0.45712627 0.45856282 26.191406 26.273714
    Oben rechts KachelX + 1 1174 KachelY 869 0.46019424 0.45856282 26.367188 26.273714
    Unten links KachelX 1173 KachelY + 1 870 0.45712627 0.45580994 26.191406 26.115986
    Unten rechts KachelX + 1 1174 KachelY + 1 870 0.46019424 0.45580994 26.367188 26.115986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45856282-0.45580994) × R
    0.00275287999999996 × 6371000     		dl = 17538.5984799997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45856282-0.45580994) × R
    0.00275287999999996 × 6371000     		dr = 17538.5984799997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45712627-0.46019424) × cos(0.45856282) × R
    0.00306796999999998 × 0.896689605254309 × 6371000     		do = 17526.7280852463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45712627-0.46019424) × cos(0.45580994) × R
    0.00306796999999998 × 0.897904795480173 × 6371000     		du = 17550.4802382051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45856282)-sin(0.45580994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896689605254309-0.897904795480173)×R²
    abs(0.46019424-0.45712627)×0.00121519022586358×R²
    0.00306796999999998×0.00121519022586358×6371000²
    0.00306796999999998×0.00121519022586358×40589641000000     		ar = 307602730.552238m²