Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11726 / 14009
↖ ↑ ↗
← N 25.234758°
W 51.174316°		 ← 1 105 m → N 25.234758°
W 51.163330°		 →
↑
1 105.05 m
↓
↑
1 105.05 m
↓
N 25.224820°
W 51.174316°		 ← 1 105.09 m →
1 221 129 m²		 N 25.224820°
W 51.163330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.357864379882812 y=0.427536010742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.357864379882812 × 215)
    floor (0.357864379882812 × 32768)
    floor (11726.5)     		tx = 11726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427536010742188 × 215)
    floor (0.427536010742188 × 32768)
    floor (14009.5)     		ty = 14009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11726 / 14009 ti = "15/11726/14009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11726/14009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11726 ÷ 215
    11726 ÷ 32768     		x = 0.35784912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14009 ÷ 215
    14009 ÷ 32768     		y = 0.427520751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35784912109375 × 2 - 1) × π
    -0.2843017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.89316031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427520751953125 × 2 - 1) × π
    0.14495849609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.455400546390533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.89316031} λ = -0.89316031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.455400546390533))-π/2
    2×atan(1.57680484004889)-π/2
    2×1.00561297401711-π/2
    2.01122594803423-1.57079632675     		φ = 0.44042962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.89316031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.174316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44042962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.234758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11726 KachelY 14009 -0.89316031 0.44042962 -51.174316 25.234758
    Oben rechts KachelX + 1 11727 KachelY 14009 -0.89296857 0.44042962 -51.163330 25.234758
    Unten links KachelX 11726 KachelY + 1 14010 -0.89316031 0.44025617 -51.174316 25.224820
    Unten rechts KachelX + 1 11727 KachelY + 1 14010 -0.89296857 0.44025617 -51.163330 25.224820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44042962-0.44025617) × R
    0.000173450000000019 × 6371000     		dl = 1105.04995000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44042962-0.44025617) × R
    0.000173450000000019 × 6371000     		dr = 1105.04995000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.89316031--0.89296857) × cos(0.44042962) × R
    0.000191739999999996 × 0.904568587616092 × 6371000     		do = 1104.99886088414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.89316031--0.89296857) × cos(0.44025617) × R
    0.000191739999999996 × 0.904642520622101 × 6371000     		du = 1105.08917563588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44042962)-sin(0.44025617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904568587616092-0.904642520622101)×R²
    abs(-0.89296857--0.89316031)×7.3933006008442e-05×R²
    0.000191739999999996×7.3933006008442e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.3933006008442e-05×40589641000000     		ar = 1221128.8401875m²