Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 11724 / 14012
↖ ↑ ↗
← N 25.204941°
W 51.196289°		 ← 1 105.33 m → N 25.204941°
W 51.185303°		 →
↑
1 105.37 m
↓
↑
1 105.37 m
↓
N 25.195000°
W 51.196289°		 ← 1 105.42 m →
1 221 844 m²		 N 25.195000°
W 51.185303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.357803344726562 y=0.427627563476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.357803344726562 × 215)
    floor (0.357803344726562 × 32768)
    floor (11724.5)     		tx = 11724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427627563476562 × 215)
    floor (0.427627563476562 × 32768)
    floor (14012.5)     		ty = 14012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11724 / 14012 ti = "15/11724/14012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11724/14012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11724 ÷ 215
    11724 ÷ 32768     		x = 0.3577880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14012 ÷ 215
    14012 ÷ 32768     		y = 0.4276123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3577880859375 × 2 - 1) × π
    -0.284423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.89354381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4276123046875 × 2 - 1) × π
    0.144775390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.454825303595093
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.89354381} λ = -0.89354381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.454825303595093))-π/2
    2×atan(1.57589805526055)-π/2
    2×1.00535276884217-π/2
    2.01070553768433-1.57079632675     		φ = 0.43990921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.89354381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.196289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43990921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.204941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11724 KachelY 14012 -0.89354381 0.43990921 -51.196289 25.204941
    Oben rechts KachelX + 1 11725 KachelY 14012 -0.89335206 0.43990921 -51.185303 25.204941
    Unten links KachelX 11724 KachelY + 1 14013 -0.89354381 0.43973571 -51.196289 25.195000
    Unten rechts KachelX + 1 11725 KachelY + 1 14013 -0.89335206 0.43973571 -51.185303 25.195000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43990921-0.43973571) × R
    0.000173499999999993 × 6371000     		dl = 1105.36849999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43990921-0.43973571) × R
    0.000173499999999993 × 6371000     		dr = 1105.36849999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.89354381--0.89335206) × cos(0.43990921) × R
    0.000191750000000046 × 0.904790330535089 × 6371000     		do = 1105.3273808024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.89354381--0.89335206) × cos(0.43973571) × R
    0.000191750000000046 × 0.904864203161784 × 6371000     		du = 1105.41762650267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43990921)-sin(0.43973571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904790330535089-0.904864203161784)×R²
    abs(-0.89335206--0.89354381)×7.38726266943379e-05×R²
    0.000191750000000046×7.38726266943379e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.38726266943379e-05×40589641000000     		ar = 1221843.94936884m²