Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11722 / 14006
↖ ↑ ↗
← N 25.264568°
W 51.218261°		 ← 1 104.73 m → N 25.264568°
W 51.207276°		 →
↑
1 104.80 m
↓
↑
1 104.80 m
↓
N 25.254633°
W 51.218261°		 ← 1 104.82 m →
1 220 548 m²		 N 25.254633°
W 51.207276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.357742309570312 y=0.427444458007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.357742309570312 × 215)
    floor (0.357742309570312 × 32768)
    floor (11722.5)     		tx = 11722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427444458007812 × 215)
    floor (0.427444458007812 × 32768)
    floor (14006.5)     		ty = 14006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11722 / 14006 ti = "15/11722/14006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11722/14006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11722 ÷ 215
    11722 ÷ 32768     		x = 0.35772705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14006 ÷ 215
    14006 ÷ 32768     		y = 0.42742919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35772705078125 × 2 - 1) × π
    -0.2845458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.89392730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42742919921875 × 2 - 1) × π
    0.1451416015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.455975789185974
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.89392730} λ = -0.89392730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.455975789185974))-π/2
    2×atan(1.57771214660871)-π/2
    2×1.00587311538661-π/2
    2.01174623077321-1.57079632675     		φ = 0.44094990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.89392730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.218261°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44094990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.264568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11722 KachelY 14006 -0.89392730 0.44094990 -51.218261 25.264568
    Oben rechts KachelX + 1 11723 KachelY 14006 -0.89373556 0.44094990 -51.207276 25.264568
    Unten links KachelX 11722 KachelY + 1 14007 -0.89392730 0.44077649 -51.218261 25.254633
    Unten rechts KachelX + 1 11723 KachelY + 1 14007 -0.89373556 0.44077649 -51.207276 25.254633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44094990-0.44077649) × R
    0.000173409999999985 × 6371000     		dl = 1104.7951099999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44094990-0.44077649) × R
    0.000173409999999985 × 6371000     		dr = 1104.7951099999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.89392730--0.89373556) × cos(0.44094990) × R
    0.000191739999999996 × 0.904346655199733 × 6371000     		do = 1104.72775367278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.89392730--0.89373556) × cos(0.44077649) × R
    0.000191739999999996 × 0.904420652763984 × 6371000     		du = 1104.81814728729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44094990)-sin(0.44077649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904346655199733-0.904420652763984)×R²
    abs(-0.89373556--0.89392730)×7.39975642509716e-05×R²
    0.000191739999999996×7.39975642509716e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.39975642509716e-05×40589641000000     		ar = 1220547.75640888m²