Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11720 / 14024
↖ ↑ ↗
← N 25.085599°
W 51.240234°		 ← 1 106.41 m → N 25.085599°
W 51.229248°		 →
↑
1 106.45 m
↓
↑
1 106.45 m
↓
N 25.075649°
W 51.240234°		 ← 1 106.50 m →
1 224 237 m²		 N 25.075649°
W 51.229248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.357681274414062 y=0.427993774414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.357681274414062 × 215)
    floor (0.357681274414062 × 32768)
    floor (11720.5)     		tx = 11720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427993774414062 × 215)
    floor (0.427993774414062 × 32768)
    floor (14024.5)     		ty = 14024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11720 / 14024 ti = "15/11720/14024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11720/14024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11720 ÷ 215
    11720 ÷ 32768     		x = 0.357666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14024 ÷ 215
    14024 ÷ 32768     		y = 0.427978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.357666015625 × 2 - 1) × π
    -0.28466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.89431080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427978515625 × 2 - 1) × π
    0.14404296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.45252433241333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.89431080} λ = -0.89431080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.45252433241333))-π/2
    2×atan(1.57227612782334)-π/2
    2×1.00431131118581-π/2
    2.00862262237162-1.57079632675     		φ = 0.43782630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.89431080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.240234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43782630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.085599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11720 KachelY 14024 -0.89431080 0.43782630 -51.240234 25.085599
    Oben rechts KachelX + 1 11721 KachelY 14024 -0.89411905 0.43782630 -51.229248 25.085599
    Unten links KachelX 11720 KachelY + 1 14025 -0.89431080 0.43765263 -51.240234 25.075649
    Unten rechts KachelX + 1 11721 KachelY + 1 14025 -0.89411905 0.43765263 -51.229248 25.075649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43782630-0.43765263) × R
    0.000173670000000015 × 6371000     		dl = 1106.45157000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43782630-0.43765263) × R
    0.000173670000000015 × 6371000     		dr = 1106.45157000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.89431080--0.89411905) × cos(0.43782630) × R
    0.000191749999999935 × 0.905675389643908 × 6371000     		do = 1106.40860374767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.89431080--0.89411905) × cos(0.43765263) × R
    0.000191749999999935 × 0.90574900716817 × 6371000     		du = 1106.49853780479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43782630)-sin(0.43765263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905675389643908-0.90574900716817)×R²
    abs(-0.89411905--0.89431080)×7.36175242627146e-05×R²
    0.000191749999999935×7.36175242627146e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.36175242627146e-05×40589641000000     		ar = 1224237.29359491m²