Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11720 / 14008
↖ ↑ ↗
← N 25.244696°
W 51.240234°		 ← 1 104.97 m → N 25.244696°
W 51.229248°		 →
↑
1 104.99 m
↓
↑
1 104.99 m
↓
N 25.234758°
W 51.240234°		 ← 1 105.06 m →
1 221 022 m²		 N 25.234758°
W 51.229248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.357681274414062 y=0.427505493164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.357681274414062 × 215)
    floor (0.357681274414062 × 32768)
    floor (11720.5)     		tx = 11720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427505493164062 × 215)
    floor (0.427505493164062 × 32768)
    floor (14008.5)     		ty = 14008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11720 / 14008 ti = "15/11720/14008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11720/14008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11720 ÷ 215
    11720 ÷ 32768     		x = 0.357666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14008 ÷ 215
    14008 ÷ 32768     		y = 0.427490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.357666015625 × 2 - 1) × π
    -0.28466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.89431080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427490234375 × 2 - 1) × π
    0.14501953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.455592293989014
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.89431080} λ = -0.89431080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.455592293989014))-π/2
    2×atan(1.5771072175794)-π/2
    2×1.00569969489915-π/2
    2.01139938979829-1.57079632675     		φ = 0.44060306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.89431080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.240234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44060306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.244696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11720 KachelY 14008 -0.89431080 0.44060306 -51.240234 25.244696
    Oben rechts KachelX + 1 11721 KachelY 14008 -0.89411905 0.44060306 -51.229248 25.244696
    Unten links KachelX 11720 KachelY + 1 14009 -0.89431080 0.44042962 -51.240234 25.234758
    Unten rechts KachelX + 1 11721 KachelY + 1 14009 -0.89411905 0.44042962 -51.229248 25.234758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44060306-0.44042962) × R
    0.000173439999999969 × 6371000     		dl = 1104.9862399998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44060306-0.44042962) × R
    0.000173439999999969 × 6371000     		dr = 1104.9862399998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.89431080--0.89411905) × cos(0.44060306) × R
    0.000191749999999935 × 0.904494631661076 × 6371000     		do = 1104.96614345109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.89431080--0.89411905) × cos(0.44042962) × R
    0.000191749999999935 × 0.904568587616092 × 6371000     		du = 1105.05649094851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44060306)-sin(0.44042962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904494631661076-0.904568587616092)×R²
    abs(-0.89411905--0.89431080)×7.39559550161362e-05×R²
    0.000191749999999935×7.39559550161362e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.39559550161362e-05×40589641000000     		ar = 1221022.3036108m²