Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1172 / 868
↖ ↑ ↗
← N 26.431228°
E 26.015625°		 ← 17.503 km → N 26.431228°
E 26.191406°		 →
↑
17.515 km
↓
↑
17.515 km
↓
N 26.273714°
E 26.015625°		 ← 17.527 km →
306.767 km²		 N 26.273714°
E 26.191406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572509765625 y=0.424072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572509765625 × 211)
    floor (0.572509765625 × 2048)
    floor (1172.5)     		tx = 1172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424072265625 × 211)
    floor (0.424072265625 × 2048)
    floor (868.5)     		ty = 868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1172 / 868 ti = "11/1172/868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1172/868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1172 ÷ 211
    1172 ÷ 2048     		x = 0.572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 868 ÷ 211
    868 ÷ 2048     		y = 0.423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572265625 × 2 - 1) × π
    0.14453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45405831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423828125 × 2 - 1) × π
    0.15234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.478602005806641
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45405831} λ = 0.45405831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.478602005806641))-π/2
    2×atan(1.61381671804495)-π/2
    2×1.01605414092691-π/2
    2.03210828185381-1.57079632675     		φ = 0.46131196
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45405831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.015625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46131196 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.431228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1172 KachelY 868 0.45405831 0.46131196 26.015625 26.431228
    Oben rechts KachelX + 1 1173 KachelY 868 0.45712627 0.46131196 26.191406 26.431228
    Unten links KachelX 1172 KachelY + 1 869 0.45405831 0.45856282 26.015625 26.273714
    Unten rechts KachelX + 1 1173 KachelY + 1 869 0.45712627 0.45856282 26.191406 26.273714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46131196-0.45856282) × R
    0.00274914000000004 × 6371000     		dl = 17514.7709400002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46131196-0.45856282) × R
    0.00274914000000004 × 6371000     		dr = 17514.7709400002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45405831-0.45712627) × cos(0.46131196) × R
    0.00306795999999998 × 0.895469284374037 × 6371000     		do = 17502.8185979792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45405831-0.45712627) × cos(0.45856282) × R
    0.00306795999999998 × 0.896689605254309 × 6371000     		du = 17526.6709571516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46131196)-sin(0.45856282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895469284374037-0.896689605254309)×R²
    abs(0.45712627-0.45405831)×0.00122032088027202×R²
    0.00306795999999998×0.00122032088027202×6371000²
    0.00306795999999998×0.00122032088027202×40589641000000     		ar = 306766936.057832m²