Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1171 / 910
↖ ↑ ↗
← N 70.199994°
W 77.080078°		 ← 3 310.48 m → N 70.199994°
W 76.992187°		 →
↑
3 312.86 m
↓
↑
3 312.86 m
↓
N 70.170201°
W 77.080078°		 ← 3 315.26 m →
10 975 071 m²		 N 70.170201°
W 76.992187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2860107421875 y=0.2222900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2860107421875 × 212)
    floor (0.2860107421875 × 4096)
    floor (1171.5)     		tx = 1171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2222900390625 × 212)
    floor (0.2222900390625 × 4096)
    floor (910.5)     		ty = 910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1171 / 910 ti = "12/1171/910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1171/910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1171 ÷ 212
    1171 ÷ 4096     		x = 0.285888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 910 ÷ 212
    910 ÷ 4096     		y = 0.22216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.285888671875 × 2 - 1) × π
    -0.42822265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.34530115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22216796875 × 2 - 1) × π
    0.5556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.74567013656396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.34530115} λ = -1.34530115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74567013656396))-π/2
    2×atan(5.72973989735144)-π/2
    2×1.39800867913665-π/2
    2.79601735827331-1.57079632675     		φ = 1.22522103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.34530115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.080078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22522103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.199994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1171 KachelY 910 -1.34530115 1.22522103 -77.080078 70.199994
    Oben rechts KachelX + 1 1172 KachelY 910 -1.34376717 1.22522103 -76.992187 70.199994
    Unten links KachelX 1171 KachelY + 1 911 -1.34530115 1.22470104 -77.080078 70.170201
    Unten rechts KachelX + 1 1172 KachelY + 1 911 -1.34376717 1.22470104 -76.992187 70.170201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22522103-1.22470104) × R
    0.000519989999999915 × 6371000     		dl = 3312.85628999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22522103-1.22470104) × R
    0.000519989999999915 × 6371000     		dr = 3312.85628999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.34530115--1.34376717) × cos(1.22522103) × R
    0.00153398000000005 × 0.3387380189437 × 6371000     		do = 3310.48211327267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.34530115--1.34376717) × cos(1.22470104) × R
    0.00153398000000005 × 0.339227221698606 × 6371000     		du = 3315.26308523126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22522103)-sin(1.22470104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3387380189437-0.339227221698606)×R²
    abs(-1.34376717--1.34530115)×0.000489202754905604×R²
    0.00153398000000005×0.000489202754905604×6371000²
    0.00153398000000005×0.000489202754905604×40589641000000     		ar = 10975071.0756946m²