Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1170 / 862
↖ ↑ ↗
← N 27.371767°
E 25.664062°		 ← 17.358 km → N 27.371767°
E 25.839844°		 →
↑
17.370 km
↓
↑
17.370 km
↓
N 27.215556°
E 25.664062°		 ← 17.382 km →
301.713 km²		 N 27.215556°
E 25.839844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571533203125 y=0.421142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571533203125 × 211)
    floor (0.571533203125 × 2048)
    floor (1170.5)     		tx = 1170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421142578125 × 211)
    floor (0.421142578125 × 2048)
    floor (862.5)     		ty = 862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1170 / 862 ti = "11/1170/862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1170/862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1170 ÷ 211
    1170 ÷ 2048     		x = 0.5712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 862 ÷ 211
    862 ÷ 2048     		y = 0.4208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5712890625 × 2 - 1) × π
    0.142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44792239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4208984375 × 2 - 1) × π
    0.158203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.497009775260742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44792239} λ = 0.44792239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.497009775260742))-π/2
    2×atan(1.64379858720132)-π/2
    2×1.02426189413306-π/2
    2.04852378826613-1.57079632675     		φ = 0.47772746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44792239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.664062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47772746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.371767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1170 KachelY 862 0.44792239 0.47772746 25.664062 27.371767
    Oben rechts KachelX + 1 1171 KachelY 862 0.45099035 0.47772746 25.839844 27.371767
    Unten links KachelX 1170 KachelY + 1 863 0.44792239 0.47500106 25.664062 27.215556
    Unten rechts KachelX + 1 1171 KachelY + 1 863 0.45099035 0.47500106 25.839844 27.215556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47772746-0.47500106) × R
    0.00272640000000002 × 6371000     		dl = 17369.8944000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47772746-0.47500106) × R
    0.00272640000000002 × 6371000     		dr = 17369.8944000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44792239-0.45099035) × cos(0.47772746) × R
    0.00306795999999998 × 0.88804204310942 × 6371000     		do = 17357.6459395682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44792239-0.45099035) × cos(0.47500106) × R
    0.00306795999999998 × 0.889292236843915 × 6371000     		du = 17382.0821927474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47772746)-sin(0.47500106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88804204310942-0.889292236843915)×R²
    abs(0.45099035-0.44792239)×0.00125019373449498×R²
    0.00306795999999998×0.00125019373449498×6371000²
    0.00306795999999998×0.00125019373449498×40589641000000     		ar = 301712891.464001m²