Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1170 / 844
↖ ↑ ↗
← N 30.145127°
E 25.664062°		 ← 16.903 km → N 30.145127°
E 25.839844°		 →
↑
16.916 km
↓
↑
16.916 km
↓
N 29.993002°
E 25.664062°		 ← 16.929 km →
286.135 km²		 N 29.993002°
E 25.839844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571533203125 y=0.412353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571533203125 × 211)
    floor (0.571533203125 × 2048)
    floor (1170.5)     		tx = 1170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412353515625 × 211)
    floor (0.412353515625 × 2048)
    floor (844.5)     		ty = 844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1170 / 844 ti = "11/1170/844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1170/844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1170 ÷ 211
    1170 ÷ 2048     		x = 0.5712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 844 ÷ 211
    844 ÷ 2048     		y = 0.412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5712890625 × 2 - 1) × π
    0.142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44792239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412109375 × 2 - 1) × π
    0.17578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.552233083623047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44792239} λ = 0.44792239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.552233083623047))-π/2
    2×atan(1.73712784158869)-π/2
    2×1.0484640247818-π/2
    2.0969280495636-1.57079632675     		φ = 0.52613172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44792239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.664062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52613172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.145127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1170 KachelY 844 0.44792239 0.52613172 25.664062 30.145127
    Oben rechts KachelX + 1 1171 KachelY 844 0.45099035 0.52613172 25.839844 30.145127
    Unten links KachelX 1170 KachelY + 1 845 0.44792239 0.52347664 25.664062 29.993002
    Unten rechts KachelX + 1 1171 KachelY + 1 845 0.45099035 0.52347664 25.839844 29.993002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52613172-0.52347664) × R
    0.00265507999999992 × 6371000     		dl = 16915.5146799995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52613172-0.52347664) × R
    0.00265507999999992 × 6371000     		dr = 16915.5146799995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44792239-0.45099035) × cos(0.52613172) × R
    0.00306795999999998 × 0.864756154813241 × 6371000     		do = 16902.5005919243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44792239-0.45099035) × cos(0.52347664) × R
    0.00306795999999998 × 0.866086465124141 × 6371000     		du = 16928.5028015556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52613172)-sin(0.52347664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864756154813241-0.866086465124141)×R²
    abs(0.45099035-0.44792239)×0.00133031031089936×R²
    0.00306795999999998×0.00133031031089936×6371000²
    0.00306795999999998×0.00133031031089936×40589641000000     		ar = 286134585.36173m²