Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1170 / 496
↖ ↑ ↗
← N 82.765373°
W128.583984°		 ← 615.37 m → N 82.765373°
W128.540039°		 →
↑
615.63 m
↓
↑
615.63 m
↓
N 82.759836°
W128.583984°		 ← 615.84 m →
378 984 m²		 N 82.759836°
W128.540039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.14288330078125 y=0.06060791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.14288330078125 × 213)
    floor (0.14288330078125 × 8192)
    floor (1170.5)     		tx = 1170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.06060791015625 × 213)
    floor (0.06060791015625 × 8192)
    floor (496.5)     		ty = 496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1170 / 496 ti = "13/1170/496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1170/496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1170 ÷ 213
    1170 ÷ 8192     		x = 0.142822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 496 ÷ 213
    496 ÷ 8192     		y = 0.060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.142822265625 × 2 - 1) × π
    -0.71435546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.24421389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.060546875 × 2 - 1) × π
    0.87890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.76116541811523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.24421389} λ = -2.24421389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.76116541811523))-π/2
    2×atan(15.818267105288)-π/2
    2×1.50766229291162-π/2
    3.01532458582323-1.57079632675     		φ = 1.44452826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.24421389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.583984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44452826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.765373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1170 KachelY 496 -2.24421389 1.44452826 -128.583984 82.765373
    Oben rechts KachelX + 1 1171 KachelY 496 -2.24344690 1.44452826 -128.540039 82.765373
    Unten links KachelX 1170 KachelY + 1 497 -2.24421389 1.44443163 -128.583984 82.759836
    Unten rechts KachelX + 1 1171 KachelY + 1 497 -2.24344690 1.44443163 -128.540039 82.759836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44452826-1.44443163) × R
    9.6630000000042e-05 × 6371000     		dl = 615.629730000267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44452826-1.44443163) × R
    9.6630000000042e-05 × 6371000     		dr = 615.629730000267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.24421389--2.24344690) × cos(1.44452826) × R
    0.000766990000000245 × 0.125932805725766 × 6371000     		do = 615.369810170024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.24421389--2.24344690) × cos(1.44443163) × R
    0.000766990000000245 × 0.126028665844375 × 6371000     		du = 615.838229996389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44452826)-sin(1.44443163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.125932805725766-0.126028665844375)×R²
    abs(-2.24344690--2.24421389)×9.58601186097086e-05×R²
    0.000766990000000245×9.58601186097086e-05×6371000²
    0.000766990000000245×9.58601186097086e-05×40589641000000     		ar = 378984.136968087m²