Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1169 / 854
↖ ↑ ↗
← N 28.613460°
E 25.488281°		 ← 17.159 km → N 28.613460°
E 25.664062°		 →
↑
17.171 km
↓
↑
17.171 km
↓
N 28.459033°
E 25.488281°		 ← 17.184 km →
294.858 km²		 N 28.459033°
E 25.664062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571044921875 y=0.417236328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571044921875 × 211)
    floor (0.571044921875 × 2048)
    floor (1169.5)     		tx = 1169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417236328125 × 211)
    floor (0.417236328125 × 2048)
    floor (854.5)     		ty = 854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1169 / 854 ti = "11/1169/854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1169/854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1169 ÷ 211
    1169 ÷ 2048     		x = 0.57080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 854 ÷ 211
    854 ÷ 2048     		y = 0.4169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57080078125 × 2 - 1) × π
    0.1416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44485443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4169921875 × 2 - 1) × π
    0.166015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.521553467866211
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44485443} λ = 0.44485443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.521553467866211))-π/2
    2×atan(1.6846426562412)-π/2
    2×1.03509770205824-π/2
    2.07019540411649-1.57079632675     		φ = 0.49939908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44485443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.488281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49939908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.613460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1169 KachelY 854 0.44485443 0.49939908 25.488281 28.613460
    Oben rechts KachelX + 1 1170 KachelY 854 0.44792239 0.49939908 25.664062 28.613460
    Unten links KachelX 1169 KachelY + 1 855 0.44485443 0.49670383 25.488281 28.459033
    Unten rechts KachelX + 1 1170 KachelY + 1 855 0.44792239 0.49670383 25.664062 28.459033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49939908-0.49670383) × R
    0.00269524999999998 × 6371000     		dl = 17171.4377499999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49939908-0.49670383) × R
    0.00269524999999998 × 6371000     		dr = 17171.4377499999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44485443-0.44792239) × cos(0.49939908) × R
    0.00306795999999998 × 0.877870499818039 × 6371000     		do = 17158.8332273991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44485443-0.44792239) × cos(0.49670383) × R
    0.00306795999999998 × 0.879158059759019 × 6371000     		du = 17183.9998394473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49939908)-sin(0.49670383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877870499818039-0.879158059759019)×R²
    abs(0.44792239-0.44485443)×0.00128755994098018×R²
    0.00306795999999998×0.00128755994098018×6371000²
    0.00306795999999998×0.00128755994098018×40589641000000     		ar = 294858088.579604m²