Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 1169 / 497
↖ ↑ ↗
← N 82.759836°
W128.627930°		 ← 615.84 m → N 82.759836°
W128.583984°		 →
↑
616.08 m
↓
↑
616.08 m
↓
N 82.754296°
W128.627930°		 ← 616.31 m →
379 547 m²		 N 82.754296°
W128.583984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.14276123046875 y=0.06072998046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.14276123046875 × 213)
    floor (0.14276123046875 × 8192)
    floor (1169.5)     		tx = 1169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.06072998046875 × 213)
    floor (0.06072998046875 × 8192)
    floor (497.5)     		ty = 497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1169 / 497 ti = "13/1169/497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1169/497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1169 ÷ 213
    1169 ÷ 8192     		x = 0.1427001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 497 ÷ 213
    497 ÷ 8192     		y = 0.0606689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1427001953125 × 2 - 1) × π
    -0.714599609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.24498088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0606689453125 × 2 - 1) × π
    0.878662109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.76039842772131
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.24498088} λ = -2.24498088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.76039842772131))-π/2
    2×atan(15.8061392979202)-π/2
    2×1.50761397990721-π/2
    3.01522795981443-1.57079632675     		φ = 1.44443163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.24498088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.627930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44443163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.759836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1169 KachelY 497 -2.24498088 1.44443163 -128.627930 82.759836
    Oben rechts KachelX + 1 1170 KachelY 497 -2.24421389 1.44443163 -128.583984 82.759836
    Unten links KachelX 1169 KachelY + 1 498 -2.24498088 1.44433493 -128.627930 82.754296
    Unten rechts KachelX + 1 1170 KachelY + 1 498 -2.24421389 1.44433493 -128.583984 82.754296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44443163-1.44433493) × R
    9.67000000000606e-05 × 6371000     		dl = 616.075700000386m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44443163-1.44433493) × R
    9.67000000000606e-05 × 6371000     		dr = 616.075700000386m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.24498088--2.24421389) × cos(1.44443163) × R
    0.000766989999999801 × 0.126028665844375 × 6371000     		do = 615.838229996032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.24498088--2.24421389) × cos(1.44433493) × R
    0.000766989999999801 × 0.126124594227219 × 6371000     		du = 616.30698339512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44443163)-sin(1.44433493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126028665844375-0.126124594227219)×R²
    abs(-2.24421389--2.24498088)×9.59283828440016e-05×R²
    0.000766989999999801×9.59283828440016e-05×6371000²
    0.000766989999999801×9.59283828440016e-05×40589641000000     		ar = 379547.362714095m²