Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1168 / 839
↖ ↑ ↗
← N 30.902225°
E 25.312500°		 ← 16.771 km → N 30.902225°
E 25.488281°		 →
↑
16.785 km
↓
↑
16.785 km
↓
N 30.751278°
E 25.312500°		 ← 16.798 km →
281.720 km²		 N 30.751278°
E 25.488281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570556640625 y=0.409912109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570556640625 × 211)
    floor (0.570556640625 × 2048)
    floor (1168.5)     		tx = 1168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409912109375 × 211)
    floor (0.409912109375 × 2048)
    floor (839.5)     		ty = 839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1168 / 839 ti = "11/1168/839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1168/839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1168 ÷ 211
    1168 ÷ 2048     		x = 0.5703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 839 ÷ 211
    839 ÷ 2048     		y = 0.40966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5703125 × 2 - 1) × π
    0.140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44178647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40966796875 × 2 - 1) × π
    0.1806640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.567572891501465
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44178647} λ = 0.44178647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.567572891501465))-π/2
    2×atan(1.76398047953736)-π/2
    2×1.05507094703868-π/2
    2.11014189407735-1.57079632675     		φ = 0.53934557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44178647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53934557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.902225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1168 KachelY 839 0.44178647 0.53934557 25.312500 30.902225
    Oben rechts KachelX + 1 1169 KachelY 839 0.44485443 0.53934557 25.488281 30.902225
    Unten links KachelX 1168 KachelY + 1 840 0.44178647 0.53671105 25.312500 30.751278
    Unten rechts KachelX + 1 1169 KachelY + 1 840 0.44485443 0.53671105 25.488281 30.751278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53934557-0.53671105) × R
    0.00263452000000008 × 6371000     		dl = 16784.5269200005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53934557-0.53671105) × R
    0.00263452000000008 × 6371000     		dr = 16784.5269200005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44178647-0.44485443) × cos(0.53934557) × R
    0.00306796000000004 × 0.858044963687684 × 6371000     		do = 16771.3238303128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44178647-0.44485443) × cos(0.53671105) × R
    0.00306796000000004 × 0.859395006889381 × 6371000     		du = 16797.7117384981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53934557)-sin(0.53671105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858044963687684-0.859395006889381)×R²
    abs(0.44485443-0.44178647)×0.00135004320169707×R²
    0.00306796000000004×0.00135004320169707×6371000²
    0.00306796000000004×0.00135004320169707×40589641000000     		ar = 281720353.536203m²