Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1167 / 855
↖ ↑ ↗
← N 28.459033°
E 25.136719°		 ← 17.184 km → N 28.459033°
E 25.312500°		 →
↑
17.197 km
↓
↑
17.197 km
↓
N 28.304381°
E 25.136719°		 ← 17.209 km →
295.721 km²		 N 28.304381°
E 25.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570068359375 y=0.417724609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570068359375 × 211)
    floor (0.570068359375 × 2048)
    floor (1167.5)     		tx = 1167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417724609375 × 211)
    floor (0.417724609375 × 2048)
    floor (855.5)     		ty = 855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1167 / 855 ti = "11/1167/855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1167/855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1167 ÷ 211
    1167 ÷ 2048     		x = 0.56982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 855 ÷ 211
    855 ÷ 2048     		y = 0.41748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56982421875 × 2 - 1) × π
    0.1396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43871851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41748046875 × 2 - 1) × π
    0.1650390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.518485506290527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43871851} λ = 0.43871851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.518485506290527))-π/2
    2×atan(1.6794821574568)-π/2
    2×1.03375007745495-π/2
    2.06750015490991-1.57079632675     		φ = 0.49670383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43871851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.136719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49670383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.459033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1167 KachelY 855 0.43871851 0.49670383 25.136719 28.459033
    Oben rechts KachelX + 1 1168 KachelY 855 0.44178647 0.49670383 25.312500 28.459033
    Unten links KachelX 1167 KachelY + 1 856 0.43871851 0.49400464 25.136719 28.304381
    Unten rechts KachelX + 1 1168 KachelY + 1 856 0.44178647 0.49400464 25.312500 28.304381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49670383-0.49400464) × R
    0.00269919000000002 × 6371000     		dl = 17196.5394900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49670383-0.49400464) × R
    0.00269919000000002 × 6371000     		dr = 17196.5394900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43871851-0.44178647) × cos(0.49670383) × R
    0.00306795999999998 × 0.879158059759019 × 6371000     		do = 17183.9998394473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43871851-0.44178647) × cos(0.49400464) × R
    0.00306795999999998 × 0.880441101351802 × 6371000     		du = 17209.078135983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49670383)-sin(0.49400464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879158059759019-0.880441101351802)×R²
    abs(0.44178647-0.43871851)×0.00128304159278281×R²
    0.00306795999999998×0.00128304159278281×6371000²
    0.00306795999999998×0.00128304159278281×40589641000000     		ar = 295721141.336408m²