Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11666 / 13714
↖ ↑ ↗
← N 28.130128°
W 51.833496°		 ← 1 077.34 m → N 28.130128°
W 51.822510°		 →
↑
1 077.40 m
↓
↑
1 077.40 m
↓
N 28.120439°
W 51.833496°		 ← 1 077.44 m →
1 160 776 m²		 N 28.120439°
W 51.822510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.356033325195312 y=0.418533325195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.356033325195312 × 215)
    floor (0.356033325195312 × 32768)
    floor (11666.5)     		tx = 11666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418533325195312 × 215)
    floor (0.418533325195312 × 32768)
    floor (13714.5)     		ty = 13714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11666 / 13714 ti = "15/11666/13714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11666/13714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11666 ÷ 215
    11666 ÷ 32768     		x = 0.35601806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13714 ÷ 215
    13714 ÷ 32768     		y = 0.41851806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35601806640625 × 2 - 1) × π
    -0.2879638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.90466517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41851806640625 × 2 - 1) × π
    0.1629638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.5119660879422
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.90466517} λ = -0.90466517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.5119660879422))-π/2
    2×atan(1.66856852458796)-π/2
    2×1.03087983740724-π/2
    2.06175967481448-1.57079632675     		φ = 0.49096335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.90466517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.833496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49096335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.130128°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11666 KachelY 13714 -0.90466517 0.49096335 -51.833496 28.130128
    Oben rechts KachelX + 1 11667 KachelY 13714 -0.90447342 0.49096335 -51.822510 28.130128
    Unten links KachelX 11666 KachelY + 1 13715 -0.90466517 0.49079424 -51.833496 28.120439
    Unten rechts KachelX + 1 11667 KachelY + 1 13715 -0.90447342 0.49079424 -51.822510 28.120439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49096335-0.49079424) × R
    0.000169110000000028 × 6371000     		dl = 1077.39981000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49096335-0.49079424) × R
    0.000169110000000028 × 6371000     		dr = 1077.39981000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.90466517--0.90447342) × cos(0.49096335) × R
    0.000191750000000046 × 0.881879071809394 × 6371000     		do = 1077.33808787618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.90466517--0.90447342) × cos(0.49079424) × R
    0.000191750000000046 × 0.881958790448652 × 6371000     		du = 1077.43547529486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49096335)-sin(0.49079424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881879071809394-0.881958790448652)×R²
    abs(-0.90447342--0.90466517)×7.97186392577087e-05×R²
    0.000191750000000046×7.97186392577087e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.97186392577087e-05×40589641000000     		ar = 1160776.31654328m²