Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 11665 / 15727
↖ ↑ ↗
← N 67.910685°
W115.922241°		 ← 229.71 m → N 67.910685°
W115.916748°		 →
↑
229.67 m
↓
↑
229.67 m
↓
N 67.908619°
W115.922241°		 ← 229.73 m →
52 761 m²		 N 67.908619°
W115.916748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.178001403808594 y=0.239982604980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.178001403808594 × 216)
    floor (0.178001403808594 × 65536)
    floor (11665.5)     		tx = 11665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.239982604980469 × 216)
    floor (0.239982604980469 × 65536)
    floor (15727.5)     		ty = 15727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11665 / 15727 ti = "16/11665/15727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11665/15727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11665 ÷ 216
    11665 ÷ 65536     		x = 0.177993774414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15727 ÷ 216
    15727 ÷ 65536     		y = 0.239974975585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.177993774414062 × 2 - 1) × π
    -0.644012451171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.02322479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.239974975585938 × 2 - 1) × π
    0.520050048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.63378541285075
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.02322479} λ = -2.02322479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63378541285075))-π/2
    2×atan(5.12323160527452)-π/2
    2×1.37803068853675-π/2
    2.75606137707349-1.57079632675     		φ = 1.18526505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.02322479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.922241°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18526505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.910685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11665 KachelY 15727 -2.02322479 1.18526505 -115.922241 67.910685
    Oben rechts KachelX + 1 11666 KachelY 15727 -2.02312891 1.18526505 -115.916748 67.910685
    Unten links KachelX 11665 KachelY + 1 15728 -2.02322479 1.18522900 -115.922241 67.908619
    Unten rechts KachelX + 1 11666 KachelY + 1 15728 -2.02312891 1.18522900 -115.916748 67.908619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18526505-1.18522900) × R
    3.60499999998432e-05 × 6371000     		dl = 229.674549999001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18526505-1.18522900) × R
    3.60499999998432e-05 × 6371000     		dr = 229.674549999001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.02322479--2.02312891) × cos(1.18526505) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.376051470223437 × 6371000     		do = 229.711597142012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.02322479--2.02312891) × cos(1.18522900) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.376084873864947 × 6371000     		du = 229.732001805865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18526505)-sin(1.18522900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376051470223437-0.376084873864947)×R²
    abs(-2.02312891--2.02322479)×3.34036415098327e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.34036415098327e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.34036415098327e-05×40589641000000     		ar = 52761.250924636m²