Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 11664 / 20856
↖ ↑ ↗
← S 44.024422°
W 51.855468°		 ← 878.37 m → S 44.024422°
W 51.844483°		 →
↑
878.31 m
↓
↑
878.31 m
↓
S 44.032321°
W 51.855468°		 ← 878.25 m →
771 423 m²		 S 44.032321°
W 51.844483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.355972290039062 y=0.636489868164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.355972290039062 × 215)
    floor (0.355972290039062 × 32768)
    floor (11664.5)     		tx = 11664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636489868164062 × 215)
    floor (0.636489868164062 × 32768)
    floor (20856.5)     		ty = 20856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11664 / 20856 ti = "15/11664/20856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11664/20856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11664 ÷ 215
    11664 ÷ 32768     		x = 0.35595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20856 ÷ 215
    20856 ÷ 32768     		y = 0.636474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35595703125 × 2 - 1) × π
    -0.2880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.90504866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636474609375 × 2 - 1) × π
    -0.27294921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.857495260403564
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.90504866} λ = -0.90504866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.857495260403564))-π/2
    2×atan(0.424223321650302)-π/2
    2×0.401212610004309-π/2
    0.802425220008619-1.57079632675     		φ = -0.76837111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.90504866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.855468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76837111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.024422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11664 KachelY 20856 -0.90504866 -0.76837111 -51.855468 -44.024422
    Oben rechts KachelX + 1 11665 KachelY 20856 -0.90485692 -0.76837111 -51.844483 -44.024422
    Unten links KachelX 11664 KachelY + 1 20857 -0.90504866 -0.76850897 -51.855468 -44.032321
    Unten rechts KachelX + 1 11665 KachelY + 1 20857 -0.90485692 -0.76850897 -51.844483 -44.032321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76837111--0.76850897) × R
    0.000137859999999934 × 6371000     		dl = 878.30605999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76837111--0.76850897) × R
    0.000137859999999934 × 6371000     		dr = 878.30605999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.90504866--0.90485692) × cos(-0.76837111) × R
    0.000191739999999996 × 0.719043644428608 × 6371000     		do = 878.366128226425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.90504866--0.90485692) × cos(-0.76850897) × R
    0.000191739999999996 × 0.718947829732452 × 6371000     		du = 878.249083337229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76837111)-sin(-0.76850897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719043644428608-0.718947829732452)×R²
    abs(-0.90485692--0.90504866)×9.58146961560491e-05×R²
    0.000191739999999996×9.58146961560491e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.58146961560491e-05×40589641000000     		ar = 771422.893923755m²