Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 11664 / 15728
↖ ↑ ↗
← N 67.908619°
W115.927734°		 ← 229.71 m → N 67.908619°
W115.922241°		 →
↑
229.74 m
↓
↑
229.74 m
↓
N 67.906553°
W115.927734°		 ← 229.73 m →
52 775 m²		 N 67.906553°
W115.922241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.177986145019531 y=0.239997863769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.177986145019531 × 216)
    floor (0.177986145019531 × 65536)
    floor (11664.5)     		tx = 11664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.239997863769531 × 216)
    floor (0.239997863769531 × 65536)
    floor (15728.5)     		ty = 15728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11664 / 15728 ti = "16/11664/15728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11664/15728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11664 ÷ 216
    11664 ÷ 65536     		x = 0.177978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15728 ÷ 216
    15728 ÷ 65536     		y = 0.239990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.177978515625 × 2 - 1) × π
    -0.64404296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.02332066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.239990234375 × 2 - 1) × π
    0.52001953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.63368953905151
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.02332066} λ = -2.02332066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63368953905151))-π/2
    2×atan(5.12274044514121)-π/2
    2×1.37801266099444-π/2
    2.75602532198888-1.57079632675     		φ = 1.18522900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.02332066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.927734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18522900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.908619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11664 KachelY 15728 -2.02332066 1.18522900 -115.927734 67.908619
    Oben rechts KachelX + 1 11665 KachelY 15728 -2.02322479 1.18522900 -115.922241 67.908619
    Unten links KachelX 11664 KachelY + 1 15729 -2.02332066 1.18519294 -115.927734 67.906553
    Unten rechts KachelX + 1 11665 KachelY + 1 15729 -2.02322479 1.18519294 -115.922241 67.906553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18522900-1.18519294) × R
    3.60600000000044e-05 × 6371000     		dl = 229.738260000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18522900-1.18519294) × R
    3.60600000000044e-05 × 6371000     		dr = 229.738260000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.02332066--2.02322479) × cos(1.18522900) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.376084873864947 × 6371000     		do = 229.708041438697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.02332066--2.02322479) × cos(1.18519294) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.376118286283413 × 6371000     		du = 229.728449335262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18522900)-sin(1.18519294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376084873864947-0.376118286283413)×R²
    abs(-2.02322479--2.02332066)×3.3412418465717e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.3412418465717e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.3412418465717e-05×40589641000000     		ar = 52775.0699913578m²