Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 11661 / 13707
↖ ↑ ↗
← N 28.197927°
W 51.888428°		 ← 1 076.66 m → N 28.197927°
W 51.877441°		 →
↑
1 076.70 m
↓
↑
1 076.70 m
↓
N 28.188244°
W 51.888428°		 ← 1 076.75 m →
1 159 287 m²		 N 28.188244°
W 51.877441°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.355880737304688 y=0.418319702148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.355880737304688 × 215)
    floor (0.355880737304688 × 32768)
    floor (11661.5)     		tx = 11661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418319702148438 × 215)
    floor (0.418319702148438 × 32768)
    floor (13707.5)     		ty = 13707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11661 / 13707 ti = "15/11661/13707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11661/13707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11661 ÷ 215
    11661 ÷ 32768     		x = 0.355865478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13707 ÷ 215
    13707 ÷ 32768     		y = 0.418304443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.355865478515625 × 2 - 1) × π
    -0.28826904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.90562391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418304443359375 × 2 - 1) × π
    0.16339111328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.513308321131561
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.90562391} λ = -0.90562391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.513308321131561))-π/2
    2×atan(1.67080963635121)-π/2
    2×1.03147149372056-π/2
    2.06294298744111-1.57079632675     		φ = 0.49214666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.90562391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.888428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49214666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.197927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11661 KachelY 13707 -0.90562391 0.49214666 -51.888428 28.197927
    Oben rechts KachelX + 1 11662 KachelY 13707 -0.90543216 0.49214666 -51.877441 28.197927
    Unten links KachelX 11661 KachelY + 1 13708 -0.90562391 0.49197766 -51.888428 28.188244
    Unten rechts KachelX + 1 11662 KachelY + 1 13708 -0.90543216 0.49197766 -51.877441 28.188244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49214666-0.49197766) × R
    0.00016900000000003 × 6371000     		dl = 1076.69900000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49214666-0.49197766) × R
    0.00016900000000003 × 6371000     		dr = 1076.69900000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.90562391--0.90543216) × cos(0.49214666) × R
    0.000191749999999935 × 0.881320552657007 × 6371000     		do = 1076.65577895713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.90562391--0.90543216) × cos(0.49197766) × R
    0.000191749999999935 × 0.88140039576013 × 6371000     		du = 1076.75331842574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49214666)-sin(0.49197766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881320552657007-0.88140039576013)×R²
    abs(-0.90543216--0.90562391)×7.9843103123145e-05×R²
    0.000191749999999935×7.9843103123145e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.9843103123145e-05×40589641000000     		ar = 1159286.71363102m²