Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11660 / 13709
↖ ↑ ↗
← N 28.178560°
W 51.899414°		 ← 1 076.85 m → N 28.178560°
W 51.888428°		 →
↑
1 076.89 m
↓
↑
1 076.89 m
↓
N 28.168875°
W 51.899414°		 ← 1 076.95 m →
1 159 703 m²		 N 28.168875°
W 51.888428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.355850219726562 y=0.418380737304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.355850219726562 × 215)
    floor (0.355850219726562 × 32768)
    floor (11660.5)     		tx = 11660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418380737304688 × 215)
    floor (0.418380737304688 × 32768)
    floor (13709.5)     		ty = 13709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11660 / 13709 ti = "15/11660/13709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11660/13709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11660 ÷ 215
    11660 ÷ 32768     		x = 0.3558349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13709 ÷ 215
    13709 ÷ 32768     		y = 0.418365478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3558349609375 × 2 - 1) × π
    -0.288330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.90581566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418365478515625 × 2 - 1) × π
    0.16326904296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.512924825934601
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.90581566} λ = -0.90581566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.512924825934601))-π/2
    2×atan(1.67016901172672)-π/2
    2×1.03130248731211-π/2
    2.06260497462423-1.57079632675     		φ = 0.49180865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.90581566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.899414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49180865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.178560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11660 KachelY 13709 -0.90581566 0.49180865 -51.899414 28.178560
    Oben rechts KachelX + 1 11661 KachelY 13709 -0.90562391 0.49180865 -51.888428 28.178560
    Unten links KachelX 11660 KachelY + 1 13710 -0.90581566 0.49163962 -51.899414 28.168875
    Unten rechts KachelX + 1 11661 KachelY + 1 13710 -0.90562391 0.49163962 -51.888428 28.168875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49180865-0.49163962) × R
    0.000169030000000014 × 6371000     		dl = 1076.89013000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49180865-0.49163962) × R
    0.000169030000000014 × 6371000     		dr = 1076.89013000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.90581566--0.90562391) × cos(0.49180865) × R
    0.000191750000000046 × 0.881480218411786 × 6371000     		do = 1076.85083291067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.90581566--0.90562391) × cos(0.49163962) × R
    0.000191750000000046 × 0.881560025325945 × 6371000     		du = 1076.94832816943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49180865)-sin(0.49163962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881480218411786-0.881560025325945)×R²
    abs(-0.90562391--0.90581566)×7.98069141592084e-05×R²
    0.000191750000000046×7.98069141592084e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.98069141592084e-05×40589641000000     		ar = 1159702.53204593m²