Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1166 / 842
↖ ↑ ↗
← N 30.448674°
E 24.960937°		 ← 16.850 km → N 30.448674°
E 25.136719°		 →
↑
16.863 km
↓
↑
16.863 km
↓
N 30.297018°
E 24.960937°		 ← 16.876 km →
284.373 km²		 N 30.297018°
E 25.136719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569580078125 y=0.411376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569580078125 × 211)
    floor (0.569580078125 × 2048)
    floor (1166.5)     		tx = 1166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411376953125 × 211)
    floor (0.411376953125 × 2048)
    floor (842.5)     		ty = 842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1166 / 842 ti = "11/1166/842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1166/842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1166 ÷ 211
    1166 ÷ 2048     		x = 0.5693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 842 ÷ 211
    842 ÷ 2048     		y = 0.4111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5693359375 × 2 - 1) × π
    0.138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43565054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4111328125 × 2 - 1) × π
    0.177734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.558369006774414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43565054} λ = 0.43565054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.558369006774414))-π/2
    2×atan(1.74781949255849)-π/2
    2×1.05111296767502-π/2
    2.10222593535004-1.57079632675     		φ = 0.53142961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43565054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.960937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53142961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.448674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1166 KachelY 842 0.43565054 0.53142961 24.960937 30.448674
    Oben rechts KachelX + 1 1167 KachelY 842 0.43871851 0.53142961 25.136719 30.448674
    Unten links KachelX 1166 KachelY + 1 843 0.43565054 0.52878272 24.960937 30.297018
    Unten rechts KachelX + 1 1167 KachelY + 1 843 0.43871851 0.52878272 25.136719 30.297018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53142961-0.52878272) × R
    0.00264688999999996 × 6371000     		dl = 16863.3361899997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53142961-0.52878272) × R
    0.00264688999999996 × 6371000     		dr = 16863.3361899997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43565054-0.43871851) × cos(0.53142961) × R
    0.00306797000000003 × 0.862083473545203 × 6371000     		do = 16850.3153589324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43565054-0.43871851) × cos(0.52878272) × R
    0.00306797000000003 × 0.863421806747373 × 6371000     		du = 16876.4744690463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53142961)-sin(0.52878272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862083473545203-0.863421806747373)×R²
    abs(0.43871851-0.43565054)×0.00133833320216981×R²
    0.00306797000000003×0.00133833320216981×6371000²
    0.00306797000000003×0.00133833320216981×40589641000000     		ar = 284373263.766573m²