Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11659 / 13711
↖ ↑ ↗
← N 28.159189°
W 51.910400°		 ← 1 076.99 m → N 28.159189°
W 51.899414°		 →
↑
1 077.08 m
↓
↑
1 077.08 m
↓
N 28.149503°
W 51.910400°		 ← 1 077.09 m →
1 160 058 m²		 N 28.149503°
W 51.899414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.355819702148438 y=0.418441772460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.355819702148438 × 215)
    floor (0.355819702148438 × 32768)
    floor (11659.5)     		tx = 11659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418441772460938 × 215)
    floor (0.418441772460938 × 32768)
    floor (13711.5)     		ty = 13711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11659 / 13711 ti = "15/11659/13711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11659/13711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11659 ÷ 215
    11659 ÷ 32768     		x = 0.355804443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13711 ÷ 215
    13711 ÷ 32768     		y = 0.418426513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.355804443359375 × 2 - 1) × π
    -0.28839111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.90600740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418426513671875 × 2 - 1) × π
    0.16314697265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.51254133073764
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.90600740} λ = -0.90600740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.51254133073764))-π/2
    2×atan(1.6695286327316)-π/2
    2×1.03113345029478-π/2
    2.06226690058955-1.57079632675     		φ = 0.49147057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.90600740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.910400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49147057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.159189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11659 KachelY 13711 -0.90600740 0.49147057 -51.910400 28.159189
    Oben rechts KachelX + 1 11660 KachelY 13711 -0.90581566 0.49147057 -51.899414 28.159189
    Unten links KachelX 11659 KachelY + 1 13712 -0.90600740 0.49130151 -51.910400 28.149503
    Unten rechts KachelX + 1 11660 KachelY + 1 13712 -0.90581566 0.49130151 -51.899414 28.149503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49147057-0.49130151) × R
    0.000169059999999999 × 6371000     		dl = 1077.08125999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49147057-0.49130151) × R
    0.000169059999999999 × 6371000     		dr = 1077.08125999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.90600740--0.90581566) × cos(0.49147057) × R
    0.000191739999999996 × 0.881639816491387 × 6371000     		do = 1076.98963491594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.90600740--0.90581566) × cos(0.49130151) × R
    0.000191739999999996 × 0.881719587179151 × 6371000     		du = 1077.08708083693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49147057)-sin(0.49130151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881639816491387-0.881719587179151)×R²
    abs(-0.90581566--0.90600740)×7.97706877638804e-05×R²
    0.000191739999999996×7.97706877638804e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.97706877638804e-05×40589641000000     		ar = 1160057.83433323m²