Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 11654 / 5758
↖ ↑ ↗
← N 81.415574°
W115.982666°		 ← 91.18 m → N 81.415574°
W115.977173°		 →
↑
91.17 m
↓
↑
91.17 m
↓
N 81.414754°
W115.982666°		 ← 91.19 m →
8 313 m²		 N 81.414754°
W115.977173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.177833557128906 y=0.0878677368164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.177833557128906 × 216)
    floor (0.177833557128906 × 65536)
    floor (11654.5)     		tx = 11654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0878677368164062 × 216)
    floor (0.0878677368164062 × 65536)
    floor (5758.5)     		ty = 5758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11654 / 5758 ti = "16/11654/5758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11654/5758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11654 ÷ 216
    11654 ÷ 65536     		x = 0.177825927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5758 ÷ 216
    5758 ÷ 65536     		y = 0.087860107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.177825927734375 × 2 - 1) × π
    -0.64434814453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.02427940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.087860107421875 × 2 - 1) × π
    0.82427978515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.58955131747543
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.02427940} λ = -2.02427940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58955131747543))-π/2
    2×atan(13.3237921091685)-π/2
    2×1.49588307189594-π/2
    2.99176614379188-1.57079632675     		φ = 1.42096982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.02427940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.982666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42096982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.415574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11654 KachelY 5758 -2.02427940 1.42096982 -115.982666 81.415574
    Oben rechts KachelX + 1 11655 KachelY 5758 -2.02418352 1.42096982 -115.977173 81.415574
    Unten links KachelX 11654 KachelY + 1 5759 -2.02427940 1.42095551 -115.982666 81.414754
    Unten rechts KachelX + 1 11655 KachelY + 1 5759 -2.02418352 1.42095551 -115.977173 81.414754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42096982-1.42095551) × R
    1.43100000000729e-05 × 6371000     		dl = 91.1690100004643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42096982-1.42095551) × R
    1.43100000000729e-05 × 6371000     		dr = 91.1690100004643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.02427940--2.02418352) × cos(1.42096982) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.149266585161999 × 6371000     		do = 91.1797144611158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.02427940--2.02418352) × cos(1.42095551) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.149280734831636 × 6371000     		du = 91.1883578077551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42096982)-sin(1.42095551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149266585161999-0.149280734831636)×R²
    abs(-2.02418352--2.02427940)×1.41496696370036e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.41496696370036e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.41496696370036e-05×40589641000000     		ar = 8313.15830227807m²