Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 11649 / 5761
↖ ↑ ↗
← N 81.413113°
W116.010132°		 ← 91.21 m → N 81.413113°
W116.004639°		 →
↑
91.23 m
↓
↑
91.23 m
↓
N 81.412293°
W116.010132°		 ← 91.21 m →
8 321 m²		 N 81.412293°
W116.004639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.177757263183594 y=0.0879135131835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.177757263183594 × 216)
    floor (0.177757263183594 × 65536)
    floor (11649.5)     		tx = 11649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0879135131835938 × 216)
    floor (0.0879135131835938 × 65536)
    floor (5761.5)     		ty = 5761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11649 / 5761 ti = "16/11649/5761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11649/5761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11649 ÷ 216
    11649 ÷ 65536     		x = 0.177749633789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5761 ÷ 216
    5761 ÷ 65536     		y = 0.0879058837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.177749633789062 × 2 - 1) × π
    -0.644500732421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.02475877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0879058837890625 × 2 - 1) × π
    0.824188232421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.58926369607771
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.02475877} λ = -2.02475877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58926369607771))-π/2
    2×atan(13.3199604525188)-π/2
    2×1.49586160271083-π/2
    2.99172320542165-1.57079632675     		φ = 1.42092688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.02475877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -116.010132°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42092688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.413113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11649 KachelY 5761 -2.02475877 1.42092688 -116.010132 81.413113
    Oben rechts KachelX + 1 11650 KachelY 5761 -2.02466289 1.42092688 -116.004639 81.413113
    Unten links KachelX 11649 KachelY + 1 5762 -2.02475877 1.42091256 -116.010132 81.412293
    Unten rechts KachelX + 1 11650 KachelY + 1 5762 -2.02466289 1.42091256 -116.004639 81.412293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42092688-1.42091256) × R
    1.43199999997901e-05 × 6371000     		dl = 91.2327199986624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42092688-1.42091256) × R
    1.43199999997901e-05 × 6371000     		dr = 91.2327199986624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.02475877--2.02466289) × cos(1.42092688) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.149309043967106 × 6371000     		do = 91.2056504846318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.02475877--2.02466289) × cos(1.42091256) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.149323203432889 × 6371000     		du = 91.2142998152618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42092688)-sin(1.42091256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149309043967106-0.149323203432889)×R²
    abs(-2.02466289--2.02475877)×1.4159465783703e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.4159465783703e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.4159465783703e-05×40589641000000     		ar = 8321.33412425402m²