Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 11643 / 13688
↖ ↑ ↗
← N 28.381735°
W 52.086181°		 ← 1 074.74 m → N 28.381735°
W 52.075195°		 →
↑
1 074.79 m
↓
↑
1 074.79 m
↓
N 28.372069°
W 52.086181°		 ← 1 074.84 m →
1 155 172 m²		 N 28.372069°
W 52.075195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.355331420898438 y=0.417739868164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.355331420898438 × 215)
    floor (0.355331420898438 × 32768)
    floor (11643.5)     		tx = 11643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417739868164062 × 215)
    floor (0.417739868164062 × 32768)
    floor (13688.5)     		ty = 13688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11643 / 13688 ti = "15/11643/13688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11643/13688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11643 ÷ 215
    11643 ÷ 32768     		x = 0.355316162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13688 ÷ 215
    13688 ÷ 32768     		y = 0.417724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.355316162109375 × 2 - 1) × π
    -0.28936767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.90907536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417724609375 × 2 - 1) × π
    0.16455078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.516951525502686
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.90907536} λ = -0.90907536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.516951525502686))-π/2
    2×atan(1.67690783907601)-π/2
    2×1.0330755253574-π/2
    2.0661510507148-1.57079632675     		φ = 0.49535472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.90907536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -52.086181°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49535472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.381735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11643 KachelY 13688 -0.90907536 0.49535472 -52.086181 28.381735
    Oben rechts KachelX + 1 11644 KachelY 13688 -0.90888362 0.49535472 -52.075195 28.381735
    Unten links KachelX 11643 KachelY + 1 13689 -0.90907536 0.49518602 -52.086181 28.372069
    Unten rechts KachelX + 1 11644 KachelY + 1 13689 -0.90888362 0.49518602 -52.075195 28.372069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49535472-0.49518602) × R
    0.000168700000000022 × 6371000     		dl = 1074.78770000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49535472-0.49518602) × R
    0.000168700000000022 × 6371000     		dr = 1074.78770000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.90907536--0.90888362) × cos(0.49535472) × R
    0.000191739999999996 × 0.879800151250806 × 6371000     		do = 1074.74234485626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.90907536--0.90888362) × cos(0.49518602) × R
    0.000191739999999996 × 0.879880329223972 × 6371000     		du = 1074.84028830713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49535472)-sin(0.49518602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879800151250806-0.879880329223972)×R²
    abs(-0.90888362--0.90907536)×8.01779731663954e-05×R²
    0.000191739999999996×8.01779731663954e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.01779731663954e-05×40589641000000     		ar = 1155172.48986893m²