Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1164 / 974
↖ ↑ ↗
← N  8.754795°
E 24.609375°		 ← 19.318 km → N  8.754795°
E 24.785156°		 →
↑
19.323 km
↓
↑
19.323 km
↓
N  8.581021°
E 24.609375°		 ← 19.327 km →
373.368 km²		 N  8.581021°
E 24.785156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568603515625 y=0.475830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568603515625 × 211)
    floor (0.568603515625 × 2048)
    floor (1164.5)     		tx = 1164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.475830078125 × 211)
    floor (0.475830078125 × 2048)
    floor (974.5)     		ty = 974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1164 / 974 ti = "11/1164/974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1164/974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1164 ÷ 211
    1164 ÷ 2048     		x = 0.568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 974 ÷ 211
    974 ÷ 2048     		y = 0.4755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568359375 × 2 - 1) × π
    0.13671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42951462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4755859375 × 2 - 1) × π
    0.048828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.15339807878418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42951462} λ = 0.42951462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.15339807878418))-π/2
    2×atan(1.1657889624384)-π/2
    2×0.861798159842111-π/2
    1.72359631968422-1.57079632675     		φ = 0.15279999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42951462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.609375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.15279999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 8.754795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1164 KachelY 974 0.42951462 0.15279999 24.609375 8.754795
    Oben rechts KachelX + 1 1165 KachelY 974 0.43258258 0.15279999 24.785156 8.754795
    Unten links KachelX 1164 KachelY + 1 975 0.42951462 0.14976707 24.609375 8.581021
    Unten rechts KachelX + 1 1165 KachelY + 1 975 0.43258258 0.14976707 24.785156 8.581021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.15279999-0.14976707) × R
    0.00303291999999999 × 6371000     		dl = 19322.73332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.15279999-0.14976707) × R
    0.00303291999999999 × 6371000     		dr = 19322.73332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42951462-0.43258258) × cos(0.15279999) × R
    0.00306795999999998 × 0.988348777253828 × 6371000     		do = 19318.238672922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42951462-0.43258258) × cos(0.14976707) × R
    0.00306795999999998 × 0.988805859736353 × 6371000     		du = 19327.1727948574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.15279999)-sin(0.14976707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988348777253828-0.988805859736353)×R²
    abs(0.43258258-0.42951462)×0.000457082482524518×R²
    0.00306795999999998×0.000457082482524518×6371000²
    0.00306795999999998×0.000457082482524518×40589641000000     		ar = 373367776.122015m²