Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1164 / 860
↖ ↑ ↗
← N 27.683528°
E 24.609375°		 ← 17.308 km → N 27.683528°
E 24.785156°		 →
↑
17.321 km
↓
↑
17.321 km
↓
N 27.527758°
E 24.609375°		 ← 17.333 km →
300.010 km²		 N 27.527758°
E 24.785156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568603515625 y=0.420166015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568603515625 × 211)
    floor (0.568603515625 × 2048)
    floor (1164.5)     		tx = 1164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420166015625 × 211)
    floor (0.420166015625 × 2048)
    floor (860.5)     		ty = 860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1164 / 860 ti = "11/1164/860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1164/860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1164 ÷ 211
    1164 ÷ 2048     		x = 0.568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 860 ÷ 211
    860 ÷ 2048     		y = 0.419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568359375 × 2 - 1) × π
    0.13671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42951462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419921875 × 2 - 1) × π
    0.16015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.503145698412109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42951462} λ = 0.42951462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.503145698412109))-π/2
    2×atan(1.65391581653716)-π/2
    2×1.02698252020629-π/2
    2.05396504041258-1.57079632675     		φ = 0.48316871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42951462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.609375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48316871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.683528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1164 KachelY 860 0.42951462 0.48316871 24.609375 27.683528
    Oben rechts KachelX + 1 1165 KachelY 860 0.43258258 0.48316871 24.785156 27.683528
    Unten links KachelX 1164 KachelY + 1 861 0.42951462 0.48045002 24.609375 27.527758
    Unten rechts KachelX + 1 1165 KachelY + 1 861 0.43258258 0.48045002 24.785156 27.527758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48316871-0.48045002) × R
    0.00271869000000002 × 6371000     		dl = 17320.7739900002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48316871-0.48045002) × R
    0.00271869000000002 × 6371000     		dr = 17320.7739900002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42951462-0.43258258) × cos(0.48316871) × R
    0.00306795999999998 × 0.885527227905161 × 6371000     		do = 17308.4914290834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42951462-0.43258258) × cos(0.48045002) × R
    0.00306795999999998 × 0.886787023105504 × 6371000     		du = 17333.1153522564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48316871)-sin(0.48045002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885527227905161-0.886787023105504)×R²
    abs(0.43258258-0.42951462)×0.00125979520034247×R²
    0.00306795999999998×0.00125979520034247×6371000²
    0.00306795999999998×0.00125979520034247×40589641000000     		ar = 300009905.643028m²