Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1164 / 1197
↖ ↑ ↗
← S 29.075375°
E 24.609375°		 ← 17.083 km → S 29.075375°
E 24.785156°		 →
↑
17.070 km
↓
↑
17.070 km
↓
S 29.228890°
E 24.609375°		 ← 17.057 km →
291.387 km²		 S 29.228890°
E 24.785156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568603515625 y=0.584716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568603515625 × 211)
    floor (0.568603515625 × 2048)
    floor (1164.5)     		tx = 1164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584716796875 × 211)
    floor (0.584716796875 × 2048)
    floor (1197.5)     		ty = 1197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1164 / 1197 ti = "11/1164/1197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1164/1197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1164 ÷ 211
    1164 ÷ 2048     		x = 0.568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1197 ÷ 211
    1197 ÷ 2048     		y = 0.58447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568359375 × 2 - 1) × π
    0.13671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42951462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58447265625 × 2 - 1) × π
    -0.1689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.530757352593262
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42951462} λ = 0.42951462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.530757352593262))-π/2
    2×atan(0.588159356942443)-π/2
    2×0.531667649336112-π/2
    1.06333529867222-1.57079632675     		φ = -0.50746103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42951462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.609375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50746103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.075375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1164 KachelY 1197 0.42951462 -0.50746103 24.609375 -29.075375
    Oben rechts KachelX + 1 1165 KachelY 1197 0.43258258 -0.50746103 24.785156 -29.075375
    Unten links KachelX 1164 KachelY + 1 1198 0.42951462 -0.51014037 24.609375 -29.228890
    Unten rechts KachelX + 1 1165 KachelY + 1 1198 0.43258258 -0.51014037 24.785156 -29.228890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50746103--0.51014037) × R
    0.00267934000000003 × 6371000     		dl = 17070.0751400002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50746103--0.51014037) × R
    0.00267934000000003 × 6371000     		dr = 17070.0751400002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42951462-0.43258258) × cos(-0.50746103) × R
    0.00306795999999998 × 0.873981160683682 × 6371000     		do = 17082.8123090688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42951462-0.43258258) × cos(-0.51014037) × R
    0.00306795999999998 × 0.872675973607667 × 6371000     		du = 17057.3011575122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50746103)-sin(-0.51014037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873981160683682-0.872675973607667)×R²
    abs(0.43258258-0.42951462)×0.00130518707601512×R²
    0.00306795999999998×0.00130518707601512×6371000²
    0.00306795999999998×0.00130518707601512×40589641000000     		ar = 291387325.400494m²