Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 11635 / 5749
↖ ↑ ↗
← N 81.422950°
W116.087036°		 ← 91.09 m → N 81.422950°
W116.081543°		 →
↑
91.11 m
↓
↑
91.11 m
↓
N 81.422130°
W116.087036°		 ← 91.10 m →
8 299 m²		 N 81.422130°
W116.081543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.177543640136719 y=0.0877304077148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.177543640136719 × 216)
    floor (0.177543640136719 × 65536)
    floor (11635.5)     		tx = 11635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0877304077148438 × 216)
    floor (0.0877304077148438 × 65536)
    floor (5749.5)     		ty = 5749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11635 / 5749 ti = "16/11635/5749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11635/5749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11635 ÷ 216
    11635 ÷ 65536     		x = 0.177536010742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5749 ÷ 216
    5749 ÷ 65536     		y = 0.0877227783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.177536010742188 × 2 - 1) × π
    -0.644927978515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.02610100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0877227783203125 × 2 - 1) × π
    0.824554443359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.59041418166859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.02610100} λ = -2.02610100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59041418166859))-π/2
    2×atan(13.3352936937358)-π/2
    2×1.49594744282837-π/2
    2.99189488565673-1.57079632675     		φ = 1.42109856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.02610100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -116.087036°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42109856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.422950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11635 KachelY 5749 -2.02610100 1.42109856 -116.087036 81.422950
    Oben rechts KachelX + 1 11636 KachelY 5749 -2.02600513 1.42109856 -116.081543 81.422950
    Unten links KachelX 11635 KachelY + 1 5750 -2.02610100 1.42108426 -116.087036 81.422130
    Unten rechts KachelX + 1 11636 KachelY + 1 5750 -2.02600513 1.42108426 -116.081543 81.422130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42109856-1.42108426) × R
    1.42999999999116e-05 × 6371000     		dl = 91.1052999994368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42109856-1.42108426) × R
    1.42999999999116e-05 × 6371000     		dr = 91.1052999994368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.02610100--2.02600513) × cos(1.42109856) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.149139286200944 × 6371000     		do = 91.0924520380646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.02610100--2.02600513) × cos(1.42108426) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.149153426257326 × 6371000     		du = 91.1010886115694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42109856)-sin(1.42108426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149139286200944-0.149153426257326)×R²
    abs(-2.02600513--2.02610100)×1.41400563812566e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.41400563812566e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.41400563812566e-05×40589641000000     		ar = 8299.39858945458m²